[ABC365G] AtCoder Office 题解

一道根号分治的典题。

因为 polylog 不好做（没有有效的数据结构维护许多个一组的区间并），故考虑根号算法。
指定一个分割点 \(B\)，我们把在记录中出现次数大于等于 \(B\) 次的人称为【大人】，出现次数小于 \(B\) 次的人称为【小人】。
现在询问分为两种。

• 【小人】和【小人】询问。
• 包含【大人】的询问。

先处理第二种，包含【大人】的询问。【大人】的个数不超过 \(O(\frac{m}{B})\) 个，从这里入手。
我们预处理出每个【大人】与所有其他人之间的询问。基本的思路就是：

• 枚举【大人】\(i\)；
• 枚举其他任意一个人 \(j\)；
• 枚举 \(j\) 的所有进出区间（显然可能有多个），对于每个单区间求出其与 \(i\) 的所有区间的交的大小。

由于区间个数总和是 \(O(n+m)\) 的，故这样做是 \(O(\frac{nm+m^2}{B})\) 的。
那只剩一个问题：如何快速求一个【大人】和一个单区间的交？

我们将时间离散化，记 \(sum_{i,j}\) 为第 \(i\) 个【大人】，从 \(0\) 到离散化后的时间 \(j\) 的范围内，【大人】在办公室内多久。
这本质是个前缀和，可以在 \(O(\frac{m^2}{B})\) 的时间复杂度内求出。
于是我们对于【大人】\(i\) 和一个单区间 \([l,r]\)（离散化后），答案就是 \(sum_{i, r} - sum_{i, l}\)。这个过程不会出现 \(r\)（\(l\)）在【大人】的某一个区间内，而【切断】了 \(sum\) 数组，因为 \(sum\) 在计算的时候就将所有离散化后的时间都考虑到了。

于是，【大人】\(i\) 和任意人 \(j\) 的答案 \(f_{i,j}\) 就是 \(\sum_{[l, r] \in all \ ranges \ of \ j} sum_{i,r} - sum_{i, l-1}\)。统计答案的过程可以在 \(O(\frac{nm+m^2}{B})\) 的时间复杂度内求出。

再看小人和小人之间的询问。这个直接用类似双指针的思想做，可以在 \(O(B)\) 的时间复杂度内解决，全部询问时间复杂度为 \(O(qB)\)。（但是 \(O(B^2)\) 的暴力反而快 \(2\) 倍）

\(B\) 取 \(\sqrt m\)，理论时间复杂度最优，为 \(O((n+m+q)\sqrt m)\)。

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