差分约束学习记录

概念

有整数数列 \(\{x_n\}\) 满足形如 \(x_i \le x_j + w\) 的不等式组，称为差分约束系统。我们一般需要输出一组 \(\{x_n\}\) 的可行解，或报告无解。

解法

模板

我们观察不等式，发现与图论中最短路的三角不等式 \(dis_u \le dis_v + w\) 非常像。于是我们考虑图论建模：
将每一个不等式 \(x_i \le x_j + w\) 中，点 \(j\) 向点 \(i\) 连一条权值为 \(w\) 的边，然后任意挑选一个源点（一般为 1），跑最短路。显然，最短路数组 \(dis\) 就是一组可行的解。当且仅当图中有负环时，原不等式组无解。

Q：为什么负环一定无解？
A：负环意味着有如下一组不等式：

\[\left\{\begin{matrix} x_{i_1} \le x_{i_2} + w_1 \\ x_{i_2} \le x_{i_3} + w_2\\ x_{i_3} \le x_{i_4} + w_3\\ ...\\ x_{i_k} \le x_{i_1} + w_k \end{matrix}\right.\]

且 \(\sum_{j=1}^{k} w_j < 0\)。
将这 \(k\) 个不等式相加，可得到 \(0 \le \sum_{j=1}^{k} w_j\)，显然矛盾。

有其他限制（例如值域）或要最大化最小化一些东西的时候，建立超级源点，向其他每个点连权为 \(0\) 的边，跑最短路是最保险的。

Tip：一定要把所有限制加全！

性质

若令源点的权值为 \(0\)，那么点 \(i\) 算出来的 \(dis_i\) 就是在此条件下 \(i\) 能取的最大值。证明是显然的，最短路就是满足了一堆限制的上限，故正确。

变形

• 对于 \(x_i \ge x_j + w\) 的形式，只需变形成 \(x_j \le x_i + (-w)\) 的形式，正常建边就行。
• 对于 \(x_i = x_j + w\) 的形式，我们拆成 $x_i \le x_j + w \ \wedge \ x_i \ge x_j + w $。
• 对于 \(w\) 非常小的情形，可以观察性质。如：只有 \(\left | x_i - x_j \right |=1\) 的形式，其等价于 \(-1 \le x_i - x_j \le 1 \wedge x_i \ne x_j\)，直接做的话，最短路跑出来恰好是符合的。但是在做之前，我们要判是否是二分图（保证能奇偶染色），不是的话就无解。CF1450E
• 最大化极差，我们可以枚举源点 \(s\) 依次跑最短路，此时用最大的 \(dis_p - dis_s\) 更新极差是不劣的。当然，算出最大的 \(dis_p\)，最小的 \(dis_q\)，两者相减更新答案也可，但是没必要。CF1450E
• 算 \(x_i\) 最多有多少种不同的取值，就将最优往极差方向靠。具体题目具体分析。luogu P3530

例题

Gym102394A

二分答案 \(t\) 之后就是 naive 题。
具体地，用前缀和 \(\{s_n\}\) 方便地记录限制。
首先，有 \(\forall i \in \{1,2,3,...,n\},0 \le s_i-s_{i-1} \le 1\)。
其次，有 \(s_0=0\)（直接把 \(s_0\) 当源点即可）、\(s_n-s_0=t\)。
另外，对于第一类限制，有 \(s_r - s_{l-1} \ge k\)；对于第二类限制，有 \(t - (s_r - s_{l-1}) \ge k\)，都是差分约束的形式。

此处二分答案的作用：将第二类限制变得可做。

时间复杂度 \(O(nm \log n)\)。用不着手法，随便写写，CF 上 500ms，QOJ 上 340ms，稳过。

#include <bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Linf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define pii pair<int, int> 
#define all(v) v.begin(), v.end()
using namespace std;

//#define filename "xxx" 
#define FileOperations() freopen(filename".in", "r", stdin), freopen(filename".out", "w", stdout)
#define multi_cases 1

namespace Traveller {
	const int N = 3002;
	
	int n, m1, m2;
	struct edge {
		int u, v, w;
		edge() { }
		edge(int u, int v, int w) : u(u), v(v), w(w) { }
	} e[N << 2];
	int tot; 
	
	struct constraints {
		int l, r, k;
		constraints() { }
		constraints(int l, int r, int k) : l(l), r(r), k(k) { }
	} a[N], b[N];
	
	int dis[N];
	int check(int t) {
		tot = 0;
		for(int i = 1; i <= m1; ++i) {
			auto [l, r, k] = a[i];
			e[++tot] = edge(r, l-1, -k);
		}
		for(int i = 1; i <= m2; ++i) {
			auto [l, r, k] = b[i];
			e[++tot] = edge(l-1, r, t-k);
		}
		for(int i = 1; i <= n; ++i) e[++tot] = edge(i, i-1, 0), e[++tot] = edge(i-1, i, 1);
		e[++tot] = edge(0, n, t), e[++tot] = edge(n, 0, -t);
		memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
		dis[0] = 0;
		for(int i = 1; i <= n+1; ++i) {
			int flag = 0;
			for(int j = 1; j <= tot; ++j) {
				auto [u, v, w] = e[j];
				if(dis[u] + w < dis[v]) dis[v] = dis[u] + w, flag = 1;
			}
			if(flag == 0) break;
			if(i == n+1 && flag == 1) return false;
		}
		return true;
	}
	
	void main() {
		cin >> n >> m1 >> m2;
		for(int i = 1, l, r, k; i <= m1; ++i) {
			cin >> l >> r >> k;
			a[i] = constraints(l, r, k);
		}
		for(int i = 1, l, r, k; i <= m2; ++i) {
			cin >> l >> r >> k;
			b[i] = constraints(l, r, k);
		}
		
		int L = 0, R = n;
		while(L < R) {
			int mid = L + R >> 1;
			if(check(mid)) R = mid;
			else L = mid+1;
		}
		cout << L << '\n';
	}
}

signed main() {
#ifdef filename
	FileOperations();
#endif
	
	signed _ = 1;
#ifdef multi_cases
	scanf("%d", &_);
#endif
	while(_--) Traveller::main();
	return 0;
}