[CF2057G] Secret Message 题解

神秘题目。

题目的条件十分神奇，\(|A| \le \frac{1}{5} (s+p)\)，不知所云。
一开始尝试用皮克定理转化，但是 failed。
阅读理解之后发现有一个（很典）的套路，就是构造出五组方案，使得 \(\sum_{cyc} |A| = s+p\)，这样就一定有一组方案，面积小于等于 $ \frac{1}{5} (s+p)$。

如何构造？
我们发现一个格子可以【控制】周围四个，带上自己五个格子。差不多这样：

发现如果按照 \((2i+j) \mod 5\) 的余数来分类的话，总共五种方案，刚好每一种余数可以【密铺】整个地图。显然，这样覆盖，五种方案个数和是 \(s\)。
同时，对于边界上的没有覆盖到的，我们直接花一个方格放上去。可以证明（懒），这样带来的额外代价之和就是 \(p\)。（感性理解就是只有边界上的格子会额外贡献，且有几条边【孤立】就会额外贡献几遍）

于是我们构造出来这五种方案，取个最小值就是一组可行的解。

#include <bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Linf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define pii pair<int, int> 
#define all(v) v.begin(), v.end()
using namespace std;

//#define filename "xxx" 
#define FileOperations() freopen(filename".in", "r", stdin), freopen(filename".out", "w", stdout)
#define multi_cases 1

namespace Traveller {
	const int N = 2e6+2;
	const int dir[4][2] = {{0, 1}, {1, 0}, {0, -1}, {-1, 0}};
	
	int n, m;
	int pos(int i, int j) { return (i-1) * m + j; }
	char g[N];
	
	bool mark[N];
	char ans[5][N];
	
	void main() {
		cin >> n >> m;
		for(int i = 1; i <= n; ++i) 
			for(int j = 1; j <= m; ++j) cin >> g[pos(i, j)];
		
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			for(int j = 1; j <= m; ++j) 
				for(int k = 0; k < 5; ++k) ans[k][pos(i, j)] = 0;
		
		int mn = inf, p = 0;
		for(int k = 0; k < 5; ++k) {
			int cnt = 0;
			for(int i = 1; i <= n; ++i)
				for(int j = 1; j <= m; ++j) mark[pos(i, j)] = 0;
			for(int i = 1; i <= n; ++i)
				for(int j = 1; j <= m; ++j)
					if(g[pos(i, j)] == '#' && (2*i + j) % 5 == k) {
						mark[pos(i, j)] = 1;
						++cnt, ans[k][pos(i, j)] = 'S';
						for(int d = 0; d < 4; ++d) {
							int nx = i + dir[d][0], ny = j + dir[d][1];
							if(nx < 1 || nx > n || ny < 1 || ny > m || g[pos(nx, ny)] == '.') continue;
							mark[pos(nx, ny)] = 1; 
						}
					}
			for(int i = 1; i <= n; ++i)
				for(int j = 1; j <= m; ++j) 
					if(g[pos(i, j)] == '#' && !mark[pos(i, j)]) {
						++cnt, ans[k][pos(i, j)] = 'S';
						mark[pos(i, j)] = 1;
					}
			if(cnt < mn) mn = cnt, p = k;
		}
		
		for(int i = 1; i <= n; ++i, puts(""))
			for(int j = 1; j <= m; ++j)
				if(ans[p][pos(i, j)] == 'S') cout << 'S';
				else cout << g[pos(i, j)];
	}
}

signed main() {
#ifdef filename
	FileOperations();
#endif
	
	signed _ = 1;
#ifdef multi_cases
	scanf("%d", &_);
#endif
	while(_--) Traveller::main();
	return 0;
}