[CF2053E] Resourceful Caterpillar Sequence 题解

显然两步之内决胜负。否则两个人会来回拉扯，平局。
考虑何时 Aron 会赢。
称与叶子结点边距离小于等于 \(1\) 的结点为【制胜点】。

• 开局 \(q\) 在叶子，\(p\) 不在叶子，直接赢。方案数 \(c(n-c)\)，其中 \(c\) 为叶子数量。
• \(q\) 在一个连着【制胜点】的点，\(p\) 不在【制胜点】。Nora 被迫把 \(q\) 移到【制胜点】，随后 Aron 赢。

针对第二种情况，我们考虑树形 DP。对于可能的 \(q\)：

• \(p\) 在子树内：我们枚举 \(q\) 的儿子 \(v\)，如果其为【制胜点】，则答案加上 \(v\) 子树内的非【制胜点】个数（安放 \(p\)）。
• \(p\) 在子树外：此时 \(q\) 的父亲必须为【制胜点】。答案加上 \(q\) 子树外的非【制胜点】个数即可。

做完了，时间复杂度 \(O(n)\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Linf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define pii pair<int, int> 
#define all(v) v.begin(), v.end()
using namespace std;

//#define filename "xxx" 
#define FileOperations() freopen(filename".in", "r", stdin), freopen(filename".out", "w", stdout)


namespace Traveller {
	const int N = 2e5+2;
	
	int n;
	vector<int> g[N];
	
	int leaf[N], sp[N], par[N];
	int sum[N], sz[N];
	void DFS(int u, int fa) {
		par[u] = fa;
		sum[u] = sp[u];
		sz[u] = 1;
		for(auto v : g[u]) {
			if(v == fa) continue;
			DFS(v, u);
			sum[u] += sum[v];
			sz[u] += sz[v];
		}
	}
	
	bool check(int u) {
		if(leaf[u]) return false;
		for(auto v : g[u])
			if(!sp[v]) return false;
		return true;
	}
	
	void main() {
		cin >> n;
		for(int i = 1; i <= n; ++i) vector<int>().swap(g[i]);
		for(int i = 1, u, v; i < n; ++i) {
			scanf("%d%d", &u, &v);
			g[u].push_back(v), g[v].push_back(u);
		}
		if(n == 2) {
			puts("0");
			return;
		}
		
		int cnt = 0;
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			if((int)g[i].size() == 1) ++cnt;
		long long ans = 1ll * cnt * (n - cnt);
		
		int root = 1;
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			if((int)g[i].size() > 1) {
				root = i;
				break;
			}
		memset(sum, 0, sizeof(int) * (n+1));
		memset(sz, 0, sizeof(int) * (n+1));
		memset(leaf, 0, sizeof(int) * (n+1));
		memset(sp, 0, sizeof(int) * (n+1));
		for(int i = 1; i <= n; ++i) 
			if((int)g[i].size() == 1) {
				leaf[i] = sp[i] = 1;
				for(auto v : g[i]) sp[v] = 1;
			}
		DFS(root, 0);
		
		for(int i = 1; i <= n; ++i) {
			if(leaf[i]) continue;
			if(i != root && sp[par[i]] && !leaf[par[i]]) ans += (n - sz[i]) - (sum[root] - sum[i]);
			for(auto v : g[i]) {
				if(v == par[i]) continue;
				if(sp[v] && !leaf[v]) ans += sz[v] - sum[v];
			}
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
}

signed main() {
	#ifdef filename
		FileOperations();
	#endif
	
	int _;
	cin >> _;
	while(_--) Traveller::main();
	return 0;
}