CF5D Follow Traffic Rules

[难度 2100]

题目内容（洛谷链接, CF链接）

两个城市之间有一条直达路，路上只放了一个限速牌。限速牌只限制它所在那一点的速度，驶过限速牌可以以任意速度行驶。

市民们的汽车加（减）速度恒为 \(a\ \mathrm{km/h^2}\)，且最大速度为 \(v\ \mathrm{km/h}\)。路总长为 \(l\ \mathrm{km}\)。限速牌限速为 \(w\ \mathrm{km/h}\)，被放在距离起点城市 \(d\ \mathrm{km}\) 的位置上。汽车在起点速度为 \(0\)。要求找到市民们在最优情况下，通过该路的最短时间。

汽车可以以任意速度进入终点城市。

题意

在公路上以 最短时间 为目的行驶汽车，公路上存在着一个限速牌（经过的时候，瞬时速度不能超过限制速度）
是非常经典的物理题目

1. 由常识可以知道，全程保持加速是耗时最短的
2. 而针对限速牌，可以先加速至\(v_p\)，再减速至经过限速牌时，刚好满足\(v=w\)

已知物理公式如下：
\(v2 - v_0 2 = 2 * a * x\)
\(\Delta v = v - v_0 = a * t\)

则可以定义几个 函数
\(speedUpUntilV(\_v) : x\) 将 \(v_0\) 加（减）速至 \(\_v\) 并返回经过的位移 \(x\)
\(reachX_v(\_x) : v\) 一直加速，返回 位移 \(\Delta x\) 达到 \(\_x\) 时的瞬时速度 \(v\)
\(speedUpUntilX(\_x) : t\) 一直加速（若达到 \(vMax\) 则变为匀速），返回 位移 \(\Delta x\) 达到 \(\_x\) 时的所经过的时间 \(t\)

定义完 函数 后即可解出该题

AC代码

Info: [360ms / 8.00KB / 1.30KB / C++11]

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#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double a, vMax, l, d, w, v0 = 0.0, ans = 0.0;

void fread(double &p)
{
	int t = 0; char ch = getchar();
	
	while (ch < '0' || '9' < ch)
		ch = getchar();
	
	while ('0' <= ch && ch <= '9')
		t = (t << 1) + (t << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	
	p = (double)t;
}

double speedUpUntilV(double _v)
{
	if (_v < v0)
		_v += v0, v0 = _v - v0, _v -= v0;
	
	_v = min(_v, vMax);
	double delta_t = (_v - v0) / a;
	double x = ((_v * _v) - (v0 * v0)) / (2.0 * a);
	
	ans += delta_t;
	v0 = _v;
	
	return x;
}

double reachX_v(double _x)
{
	return sqrt(2 * a * _x + v0 * v0);
}

double speedUpUntilX(double _x)
{
	double oTime = ans;
	
	_x -= speedUpUntilV(reachX_v(_x));
	
	if (_x > 0.0)
	{
		ans += (_x / v0);
	}
	
	return ans - oTime;
}

int main()
{
	#ifdef WatPz
	freopen("FTR.in", "r", stdin);
	freopen("FTR.out", "w", stdout);
	#endif
	
	fread(a), fread(vMax), fread(l), fread(d), fread(w);
	
	if (min(reachX_v(d), vMax) <= w)
	{
		speedUpUntilX(l);
	}
	else
	{
		ans += speedUpUntilX((d - speedUpUntilV(w)) / 2);
		v0 = w;
		
		speedUpUntilX(l - d);
	}
	
	printf("%.12f", ans);
	
	#ifdef WatPz
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	#endif
	
	return 0;
}