最优化理论与方法（袁亚湘 孙文瑜）笔记（二）

范数的相容性：

||AB||≤||A||.||B||

容易知道，诱导p-范数和Frobenius范数满足相容性条件，且有

||AB||_F≤min{||A||₂||B||_F,||A||_F||B||₂}.

椭圆向量范数：

||x||_A=(x^TAx)^1/2

直交不变矩阵范数：

||UA||=||A||

显然，谱范数和Frobenius范数是直交不变范数

范数的等价性，收敛性

范数的几个重要不等式

 （1）Cauchy-Schwarz不等式：

　　　　|x^Ty|≤||x||||y||

　　当且仅当x和y线性相关时，等式成立。

（2）设A是n×n正定矩阵，则

　　　　|x^TAy|≤||x||||y||_A

　　当且仅当x和y线性相关时，等式成立。

（3）设A是n×n正定矩阵，则

　　　　|xTy|≤||x||A||y||A

　　当且仅当x和A^-1y线性相关时，等式成立。

（4）Young不等式：假定p和q都是大于1的实数，1/p+1/q=1,如果x和y是实数，则

　　　　xy≤x^p/p+y^q/q,

　　当且仅当x^p=y^q时，等式成立。

（5）Holder不等式：

　　

　　其中p和q都大于1且满足1/p+1/q=1.

（6）Minkowski不等式：

　　||x+y||_p≤||x||_p+||y||_p

　　其中，p≥1.