2022-12-01 Acwing每日一题
本系列所有题目均为Acwing课的内容，发表博客既是为了学习总结，加深自己的印象，同时也是为了以后回过头来看时，不会感叹虚度光阴罢了，因此如果出现错误，欢迎大家能够指出错误，我会认真改正的。同时也希望文章能够让你有所收获，与君共勉！
Prim算法求最小生成树
给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。
输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
算法原理
由朴素版Dijkstra求最短路的思路得到朴素版Prim算法求最小生成树。算法步骤如下：
- 找出距离最小生成树最近的点
t - 判断该点
t是否与最小生成树连通，如果不连通说明不能构成最小生成树，返回impossible，否则就将该店加入最小生成树内，并且要加上树到该点的距离来重新计算最小生成树边权之和。 - 更新
t所连接的点到最小生成树的距离d[j] = min(d[j],g[t][j])
更详细的讲解看注释。
代码实现
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 510,INF = 0x3f3f3f3f;
int g[N][N],d[N];
bool st[N];
int n,m;
int prim(){
memset(d,0x3f,sizeof d);
int res=0;
for(int i=0; i < n; ++i){ // 找出n个点组成的完全图的最小生成树
int t=0; // 距离树最近的点
for(int j=1; j <= n ; ++j){ // 找出距离树最近的点
if(!st[j] &&(!t || d[t] > d[j])) // 不在树内并且t到树的距离大于j到树的距离，最重要的是第一次循环一定要更新t，这样t才能在图中出现
t = j;
}
if(i && d[t] == INF) return INF; // 如果树内存在点且最近的点到树的距离为INF，说明该点与树不连通
if(i) res += d[t]; // 更新树的边权之和
st[t] = true; // 将该点放入最小生成树中
for(int j = 1; j <= n; ++j) d[j] = min(d[j],g[t][j]); // 更新t连接的点j到最小生成树的距离
}
return res;
}
int main(void){
cin >> n >> m;
memset(g,0x3f,sizeof g);
while(m--){
int a,b,c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],c); // 最小生成树是一个无向图，因此需要连接两条边
}
int t = prim();
if(t==INF){
puts("impossible");
}
else{
cout << t << endl;
}
return 0;
}
Kruskal算法求最小生成树
给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤105,
1≤m≤2∗105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000。
输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
算法原理
排序加并查集即可实现Kruskal最小生成树算法，这是因为，我们先排序，从最小的边开始往集合里加边（破圈法）的得到的一定是边权之和最小的树，并查集能很轻松的实现将不在生成树的点合并进生成树集合，还能判断点是否属于同一个集合来判断某个点是否属于最小生成树，如果不属于我们就可以将该点加入到生成树中（前提是初始化n个点都互相不连接，如果判断a和b在同一个集合里说明题目所给的边存在重环，不可能存在最小生成树）
除此之外还要说一下最小生成树算法都不考虑负权，Prim适合稠密图的最小生成树判定，kruskal适合稀疏图的最小生成树判定。
代码实现
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010,M = 200010,INF = 0x3f3f3f3f;
struct edge{ // 最简单的存图方式
int a,b,w;
bool operator< (const edge &W)const
{
return w < W.w;
}
}edges[M];
int p[N];
int n,m;
int find(int x){
if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int kruskal(){
for(int i=1; i <= n ; ++i) p[i] = i; // 初始化并查集
sort(edges,edges + m); // 根据边进行排序
int cnt = 0,res = 0; // 进入最小生成树的边的数量，如果不到n个说明存在边的两个端点不连通，即与最小生成树不连通，返回imposisible
for(int i=0;i < m ; ++i){
int a = edges[i].a,b = edges[i].b,w = edges[i].w; // 取出这个点
a = find(a),b = find(b); // 找到这条边两个端点的祖宗节点，a是最小生成树的点，b是要加入的点
if(a != b){ // a和b不成环，说明他们不具有相同的祖宗节点，否则说明他们成环，不可能存在最小生成树
p[a] = b;
res += w;
cnt ++ ;
}
}
if(cnt < n-1) return INF; // 如果加入的边不超过n-1个，最小生成树最少需要n-个边（n个点），因此不满n-1说明一定存在环而不存在最新生成树
else return res;
}
int main(void){
cin >> n >> m;
for(int i=0; i < m ; ++i){ // 建图存边
int a,b,c;
cin >> a >> b >> c;
edges[i] = {a,b,c};
}
int t = kruskal();
if(t == INF){
puts("impossible");
}
else{
cout << t << endl;
}
return 0;
}
