001-算法随记

异或

1. 异或^：无进位相加(同0异1)

2. 0^N = N, N^N=0

3. 交换律、结合律

4. 一串数异或，改顺序不影响结果

5. 交换两个数，不申请额外空间

   • 前提：a和b指向的内存是两块东西，比如在数组中，i位置不能等于j位置，如果i位置等于j位置，这个位置会被洗成0，所以不建议这么换

   // a = 甲，b = 乙
   a = a ^ b;  // a = 甲^乙，b = 乙
   b = a ^ b;  // a = 甲^乙，b = 甲^乙^乙 = 甲
   a = a ^ b;  // a = 甲^乙^甲 = 0^乙 = 乙，b = 甲
   

题目

1. 一个数组中只有一种数出现奇数次，其余数出现偶数次，如何找到这个数？（要求时O(N),空O(1)）

   • 从头到尾异或，所有偶数次的数异或结果是0,0和剩下一个数字异或得到哪个数字

2. 一个数组中只有两种数出现奇数次，其余数出现偶数次，如何找到这个数？（要求时O(N),空O(1)）

   • 从头异或到尾，假设两个目标数字是a和b，最终结果eor=a^b

   • 又a和b不相等，所以eor不为0

   • 此时a和b至少有1位不同，例如第八位不同，会使eor的第八位为1

   • 实际中可以提取最右边的1

     // 取最右侧的1，其余位为0
     int rightOne = eor & (~eor + 1);
     

     

   • 所有数可以被分为第8为是1和第8位是0的数，a和b被分别分在两类中

   • 让eor2等于所有第8位是1的数异或得到的值，那这个值一定是a和b中的一个

     • 代码里让数组里的数和rightOne做与运算来判断这一位是不是1，是1才会返回1

   • 再让eor^eor2，得到另一个数

排序

插入排序

• 从0-0有序一直扩容到0-N上有序
• 每到一个数都一直往前换到它该在的位置
• 时\(O(N^2)\)
• 空间\(O(1)\)

冒泡排序

• 相邻两个数不断往右换，每次往最后一个位置放一个最值
• 时\(O(N^2)\)
• 空间\(O(1)\)

选择排序

• 每次选一个最值放最左边，然后再在这之外找一个最值放在这个右边一个位置，以此类推

二分法

• 只要问题能甩到一边中，就可以二分，不是一定要有序

• 常规二分：找一个有序数组中是否存在某个数

  • 找中间的数，然后根据大小找右边的中间或左边的中间，以此类推

• 略微进阶：一个有序数组，找大于等于某个数的最左侧的位置或小于等于某个数最右侧的位置

  • 一直二分到不能二分，只要满足要求就继续二分，用找到的新结果替代旧结果

• 进阶：一个无序数组，相邻数字一定不相等，求一个局部最小（可以用极小值理解：一个数小于左边且小于右边，首尾元素小于其相邻的数）的数字

  • 单独看0位置和N-1位置
  • 如果0到1下降，N-2到N-1上升，那么0到N-1一定有局部最小值，取中点M
  • 判断M是否为局部最小
    • 如果不是，则看左右的大小，来确定左右某一边有局部最小值，再接着二分

对数器

• 每次测试生成一个随机数

  

• 创建两个长度和值都随机的数组

  

• 用一个绝对正确的方法跑其中一个数组

• 用对数器方法（自己的算法）跑第二个数组

• 检查结果是否相等