07.公理化

1.定义

概率论中的公理化是指对概率的定义和性质进行数学上的严格公理化，以确保概率理论的内部一致性和逻辑严密性。公理化是概率论的基础，它提供了一组准则和假设，构成了概率论的数学基础。

在公理化中，概率的定义通常基于一个三元组 (Ω, Σ, P)，其中：

• Ω 表示样本空间，它是所有可能结果的集合。样本空间包含了所有可能发生的事件。

• Σ 表示一个 σ-代数，它是样本空间 Ω 的一个子集合的集合，满足以下性质：

  1. Ω ∈ Σ，即样本空间本身是一个事件。

  2. 如果 A ∈ Σ，则 A 的补集 A'（即 Ω - A）也属于 Σ。

  3. 如果一系列事件 {A1, A2, ...} 属于 Σ，则它们的并集 (∪) 也属于 Σ。

• P 表示概率测度函数，它将样本空间 Ω 中的每个事件映射到一个实数，满足以下性质：

  1. 对于任意事件 A，0 ≤ P(A) ≤ 1，即概率的取值范围在 [0, 1] 之间。

  2. P(Ω) = 1，即样本空间的概率为1。

  3. 如果一系列互斥事件 {A1, A2, ...}（即这些事件两两不相交，即 A1 ∩ A2 = ∅，A1 ∩ A3 = ∅，...）属于 Σ，则它们的并集的概率等于各个事件概率之和，即 P(∪Ai) = Σ P(Ai)。

• 这些公理构成了概率论的基本框架，它们确保了概率的一致性和可靠性。基于这些公理，我们可以进行概率计算、推导和建立各种概率模型，用于解决实际问题和进行统计推断。公理化为概率论提供了坚实的数学基础，使得概率论成为一门重要且广泛应用的数学学科。

2.性质

概率论中的公理化性质指的是概率的定义和性质，它们构成了概率论的基本公理体系。公理化性质是为了确保概率论的内部一致性和逻辑严谨性，使得概率论成为一门严谨的数学学科。以下是概率论中的公理化性质：

1. 非负性（Non-negativity）：

对于任何事件 A，它的概率 P(A) 总是大于等于0，即 0 ≤ P(A)。

2. 规范性（Normalization）：

对于样本空间 S，整个样本空间的概率为1，即 P(S) = 1。

3. 可列可加性（Countable Additivity）：

对于互斥的可列个事件 {A1, A2, A3, ...}，它们的概率相加等于它们的并集的概率，即 P(∪Ai) = Σ P(Ai)，其中 Σ 表示对所有事件求和。

P(A1+A2+A3+A4....) = P(A1) + P(A2) + P(A3)....

这三个公理化性质构成了概率论的基本公理系统，它们是概率论的基础。在这个公理体系下，我们可以推导出概率论的很多重要结果和性质，如条件概率、贝叶斯定理、独立性等。

3.推导公式

• 1.P(ø) = 0

• 2.有限可加性：

  • A1到An互不相容

• P(A1+An) = P(A1) + P(An)

• 3.P(A⁻) = 1 - P(A)

  • A ⋂ A⁻ = ø,A ⋂+ A⁻ = Ω,

  • Ω = P(A + A⁻) = P(A) + P(A⁻) = 1

• 4.A1An构成完备事件组：两两互不相容，并是Ω

  • P(A1+An) = P(A1) + P(An)

• 5.P(A-B) = P(A) - P(AB)

  • A = (A - B) ⋃ AB,A -B与AB是互不相容的，可以利用有限可加性，

  • 所以P(A) = P(A-B) + P(AB)，所以P(A-B) = P(A) - P(AB)

• 6.A⊃B,P(A-B) = P(A) - P(B),并且P(A) >= P(B)

  • 因为A包含B，所以P(AB) = P(B).P(A)-P(B) >= 0,所以P(A) >= P(B)

• 7.加法公式：P(A+B) = P(A) + P(B) -P(AB)

  • A+B = A + (B-AB),P(A-B) = P(A) + P(B-AB),P(B-AB) = P(B) - P(B⋂(AB)) = P(B)-P(AB)

• P(A+B+C) = P(A) + P(B)+ P(C) -P(AB)-P(AC)-P(BC) + P(ABC)

4.练习

1.练习1

• A的概率：0.4，B的概念：0.3，A+B的概率：0.6，求P(A⋂B⁻)的概率

  • 首先，我们已知 A 的概率 P(A) = 0.4，B 的概率 P(B) = 0.3，以及 A 和 B 的并集的概率 P(A ∪ B) = 0.6 。

  • 我们可以使用概率的加法规则来计算 A 和 B 的交集 A ∩ B 的概率：

  • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

  • 已知 P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，以及 P(A ∪ B) = 0.6，代入上述公式：

  • 0.6 = 0.4 + 0.3 - P(A ∩ B)

  • 解方程得到 P(A ∩ B) = 0.1。

  • 接下来，我们要计算事件 A∩B⁻ 的概率，即 A 和 B 的补集的概率。事件 A∩B⁻ 包含了那些属于 A，但不属于 B 的样本点。

  • 使用概率的减法规则：

  • P(AB⁻) = P(A -B) = P(A) - P(A B)

  • 因此，事件 A∩B⁻ 的概率为 0.3 或 30%。

2.练习2

• P(A) = P(B) = P(C) = 1/4,P(AB) = 0,P(AC) = P(BC) = 1/16

• 1.求 ABC至少一个发生的概率

  • P(A+B+C) =

  • 我们已知 P(A) = P(B) = P(C) = 1/4，P(AB) = 0，P(AC) = P(BC) = 1/16。

  • 现在要计算事件 ABC 至少一个发生的概率：

  • P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

  • 代入已知值：

  • P(A + B + C) = 1/4 + 1/4 + 1/4 - 0 - 1/16 - 1/16 + P(ABC)

  • 我们知道 P(ABC) 是事件 A、B、C 同时发生的概率，而已知 P(AB) = 0，AB的概率大于等于ABC的概率，因为AB的概率是0，ABC的概率大于等于0，所以ABC的概率为0，

  • 所以是5/8

• 2.求 ABC均不发生发生的概率

  • ABC都不发生和ABC至少有一个发生是互补事件（complementary events）。

  • 两个事件是互补事件指的是它们的结果是相互对立的，即两个事件中有且仅有一个事件发生。在这种情况下，这两个事件的概率之和等于1。

3.练习3

• 3.两台机器，一台机器不需要看的概率是0.9，需要看的概率是0.1。另一台机器不需要看的概率是0.8，需要看的概率是0.2，两台都看的概率是0.02，求至少一台需要看的概率是多少

  • 为了求解至少一台机器需要看的概率，我们可以使用概率的加法规则。

  • 设事件 A 表示第一台机器需要看，事件 B 表示第二台机器需要看。

  • 已知 P(A') = 0.9，其中 A' 是事件 A 的补集，表示第一台机器不需要看。

  • 已知 P(B') = 0.8，其中 B' 是事件 B 的补集，表示第二台机器不需要看。

  • 我们要求至少一台机器需要看，即事件 A 或事件 B 发生的概率。

  • 根据概率的加法规则：

  • P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

  • 其中 P(A ∩ B) 表示第一台和第二台机器都需要看的概率。

  • 已知两台机器都看的概率是 P(A ∩ B) = 0.02。

  • P(A + B) = 0.28

  • 因此，至少一台机器需要看的概率是 0.28 或 28%。

4.练习4

• 4.20件产品，一等级6件，二等级10件，三等级4件，取三件，求至少2件等级相同的概率

  • 总的选择方法数为 C(20, 3) = 1140（从 20 个产品中选择 3 件的组合数）。

  • 选择第一件产品的等级，有 6 种选择（一等级），然后选择第二件产品的等级，有 10 种选择（二等级），最后选择第三件产品的等级，有 4 种选择（三等级）。

  • 选择第一件产品的等级有 C(6, 1) 种选择（一等级），选择第二件产品的等级有 C(10, 1) 种选择（二等级），选择第三件产品的等级有 C(4, 1) 种选择（三等级）。

  • 因此，三件产品等级全部不同的概率为：(C(6, 1) * C(10, 1) * C(4, 1)) / C(20, 3) = (6 * 10 * 4) / 1140 ≈ 0.2105（约为 21.05%）

  • 要求至少两件等级相同的概率，我们可以计算不满足这个条件（即三件产品等级全部不同）的概率，然后用 1 减去该概率。

  • 现在我们计算至少两件等级相同的概率：

  • P(至少两件等级相同) = 1 - P(三件等级全部不同)

  • P(至少两件等级相同) = 1 - 0.2105 = 0.7895（约为 78.95%）。

5.练习5

• n个人，至少2个人生日相同的概率

  +对于 n 个人的生日问题，一共有 365 的 n 次方可能性，每个人的生日都有 365 种选择。

  • 根据概率的乘法规则，选择第一个人生日有 365 种可能性，选择第二个人的生日有 365 种可能性减去已选的那一天，即 365 - 1 = 364 种可能性，以此类推。

  • 因此，n 个人生日都不相同的概率为：

  • P(没有人生日相同) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * ((365 - n + 1)/365)

  • 要求至少有两个人生日相同的概率，就是 1 减去没有人生日相同的概率：

  • P(至少有两个人生日相同) = 1 - P(没有人生日相同)

  • 1 - 365 * 364.。。。。n/365的n次方，当n越大的时候越接近1.

  • 当 n = 55 时，我们可以使用计算机或编程来计算至少有两个人生日相同的概率。

  • P(至少有两个人生日相同) = 1 - (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * (312/365)

  • 计算结果约为：P(至少有两个人生日相同) ≈ 0.9999999999999945

  • 这意味着当有 55 个人时，至少有两个人生日相同的概率非常接近于 1，即几乎是100%。