4.古典概率模型

1.定义

• 古典概率模型是概率论中的一种基本模型，也称为拉普拉斯概率模型或等可能概型。

• 它适用于一类特殊的随机试验，其中每个可能的结果都被假定为等可能发生，即每个结果出现的概率相同。

2.条件

• 样本空间中有有限个样本。

• 试验的所有结果是互斥的：即每次试验只能出现一个结果，不会同时出现多个结果。

• 试验的所有结果是等可能的：每个结果发生的概率相同，都是 1/n。

• P(A) = A的有利样本点 / Ω中样本总数

• P(A) = A中包含的基本事件 / 基本事件的总数

• 举例

  • 比如摇骰子，偶数点 246 所以就是3/6。
  • 比如摇骰子，基本事件总数就是6，A中可能出现的是3。所以是3/6。

3.排列组合

• 加法原理：

  • 加法原理又称为“并集原理”，它指的是当某个事件可以通过多种不重叠的方式发生时，可以将每种方式的概率相加来得到总的概率。简单来说，如果事件 A 和事件 B 是不相交的，那么发生 A 或 B 的概率是 P(A) + P(B)。

• 乘法原理：

  • 乘法原理又称为“交集原理”，它指的是当某个事件可以通过多个独立的步骤实现时，可以将每个步骤的概率相乘来得到整个事件发生的概率。简单来说，如果事件 A 和事件 B 是独立的，那么同时发生 A 和 B 的概率是 P(A) × P(B)。

4.排列

1.不重复排列

• 从n个不同元素中取出m个不同元素排列组合公式，不重复排列的意思就是取出来的元素不再放回去。

  m
p   = n(n-1)(n-2))(n-3)....(n-m+1) = n! / (n-m)!
  n

• 即 P(n, m)。

• P(n, m) 表示从 n 个不同元素中选取 m 个不同的元素进行排列的方式数。

• P(n, m) = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-m+1) = n! / (n-m)!

• 其中，"!" 表示阶乘。n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1。

• 这个公式表示，首先从 n 个元素中选取一个元素作为第一个位置的选择，有 n 种选择。然后从剩下的 n-1 个元素中选取一个元素作为第二个位置的选择，有 n-1 种选择。依次类推，直到选取第 m 个位置的元素，有 n-m+1 种选择。

• 注意，这里的排列是有顺序的，不同顺序的选取方式会被视为不同的排列。如果要计算从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合（无序），则应使用组合公式 C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)。在组合中，元素的顺序是不重要的，因此将相同元素的不同排列合并为一种情况。
  组合公式的推导可以通过以下步骤来理解：

  • 首先，从 n 个不同元素中选取 m 个元素，有 P(n, m) 种排列方式。

  • 但是，由于组合是无序的，相同元素的不同排列被视为同一种情况，因此我们需要去除重复的排列。

  • 对于 m 个元素的所有可能排列方式，有 m! 种不同的排列（因为有 m 个元素，每个元素都有不同的位置）。

  • 所以，在 P(n, m) 的基础上，我们需要将 m! 种重复的排列方式去除，得到组合的方式数。

2.全排列

• 全排列是指从 n 个不同元素中选取 n 个元素进行排列，即将所有元素进行有序的排列，每个元素在排列中只能出现一次。全排列的计算公式为 P(n, n)。

• P(n, n) 表示从 n 个不同元素中选取 n 个元素进行排列的方式数。公式为：

• P(n, n) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1 = n!

• 其中，"!" 表示阶乘。n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1。

• 全排列的计算公式非常简单，因为当我们从 n 个不同元素中选取 n 个元素进行排列时，所有元素都会被使用且顺序固定，所以全排列的方式数就是 n 的阶乘。

• 举例：

  • 假设有三个不同的元素 {A, B, C}，我们需要从中选取三个元素进行全排列。所有可能的排列方式为：

  • ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

  • 共有 3! = 3 × 2 × 1 = 6 种不同的排列方式。

3.关于阶乘

• 可以这样理解，不是百分百准确。

• 规定：非0的^0等于1。

  • 可以这样理解：5^0 = 5^1-1 = 5^1 /5^1 = 1.

• 规定：0^0无意义。

  • 0^0 = 0^1-1 = 0^1 / 0^1 = 0 / 0，分母上无意义，所以0!无意义。

• 规定：0! = 1，这样理解，10！= 10 * 9！。1！ = 1 * 0！，所以0！ = 1

4.重复排列

• 从n个元素中取出m个元素进行排列。

• 重复排列是指从 n 个元素中取出 m 个元素进行排列，允许元素重复使用。在重复排列中，每个元素在排列中可以出现多次，而不是只能出现一次。重复排列的计算公式为：
  P_r(n, m) = n^m

• 其中，n 表示不同的元素数，m 表示排列的长度（选取的元素个数），P_r(n, m) 表示重复排列的方式数。它等于 n 的 m 次方，表示每个位置都有 n 种不同的选择。

• 举例：假设有三个不同的元素 {A, B, C}，我们需要从中选取两个元素进行重复排列。所有可能的重复排列方式为：

  • AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC

  • 共有 3^2 = 9 种不同的重复排列方式。

5.组合

1.组合和排列的关系

• 从n个不同元素中取出的m个不同元素

• 组合数 C(n, m) 表示从 n 个不同元素中选取 m 个不同元素进行组合的方式数。它的计算公式为：C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)

• 排列数 P(n, m) 表示从 n 个不同元素中选取 m 个不同元素进行排列的方式数。它的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!

• 现在我们来看一下组合数和排列数之间的关系：

• C(n, m) = P(n, m) / m!，C(n, m) = (n! / (n-m)!) / m!，C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)

• 这就是组合数的计算公式，它表示从 n 个不同元素中选取 m 个不同元素进行组合的方式数。我们可以通过排列数的方式数除以 m! 得到组合数的计算结果。

2.举例

• 在组合数和排列数之间的关系中，我们需要除以 m! 是为了消除排列数中考虑元素顺序的影响，从而得到组合数。

• 排列数 P(n, m) 表示从 n 个不同元素中选取 m 个元素进行排列的方式数，且考虑元素的顺序。排列数的计算公式为：
  P(n, m) = n! / (n-m)!

• 组合数 C(n, m) 表示从 n 个不同元素中选取 m 个元素进行组合的方式数，不考虑元素的顺序。组合数的计算公式为：
  C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)

• 这两个公式的差别在于组合数在分母多了一个 m!，它正是用来消除排列数中考虑元素顺序的影响。

• 让我们用一个例子来说明这个过程：

  • 假设有三个不同的元素 {A, B, C}，我们要从中选取两个元素进行排列或组合。
  • 排列数：P(3, 2) = 3! / (3-2)! = 3! / 1! = 3 × 2 = 6
  • 排列数考虑了元素的顺序，所以有六种不同的排列方式：AB, BA, AC, CA, BC, CB。
  • 组合数：C(3, 2) = 3! / (2! × (3-2)!) = 3! / (2! × 1!) = 3
  • 组合数不考虑元素的顺序，所以只有三种不同的组合方式：AB, AC, BC。
  • 如你所见，排列数有六种不同的排列方式，而组合数只有三种不同的组合方式，这是因为组合数除以 m! 后消除了排列数中考虑元素顺序的影响。这是我们得到排列数与组合数之间的关系的原因。

3.公式

• 组合数有一些有用的性质，

  • C(n, m) = C(n, n-m)
  • C(n, 0) = C(n, n) = 1，

• 1.C(n, m) = C(n, n-m)：

  • 这个性质表明，从 n 个元素中选取 m 个元素进行组合的方式数与从 n 个元素中选取 (n-m) 个元素进行组合的方式数是相等的。
  • 换句话说，选取 m 个元素与选取剩下的 (n-m) 个元素的组合方式数是相同的。这个性质在组合数学和概率论中经常用于简化计算。

• 例如，假设有五个不同的元素 {A, B, C, D, E}，我们要从中选取三个元素进行组合。

  • 根据 C(5, 3) = C(5, 5-3) 的性质，我们可以直接得到 C(5, 3) = C(5, 2)。这样，我们可以避免重复计算，简化了问题。

• 2.C(n, 0) = C(n, n) = 1：

  • 这个性质表示，从 n 个元素中选取 0 个元素进行组合，或从 n 个元素中选取 n 个元素进行组合，方式数都是 1。
  • 换句话说，选取 0 个元素或选取全部元素都只有一种组合方式，就是不选或全选。

• 这个性质在计数问题中经常出现。例如，从 n 个元素中选取 0 个元素，表示从空集合中选取元素，只有一种方式，即不选任何元素。从 n 个元素中选取 n 个元素，表示从全集合中选取元素，也只有一种方式，即选择所有元素。

4.注意区别：

• P(2, 2) 和 C(2, 2) 分别是排列数和组合数的计算，它们在数学中表示从 n 个元素中选取 m 个元素的不同方式数。让我们来解释它们的区别：

• P(2, 2) - 排列数：

  • P(2, 2) 表示从 2 个不同元素中选取 2 个元素进行排列的方式数。

  • 排列数考虑元素的顺序，所以在选取 2 个元素的情况下，我们需要考虑它们的排列方式。

  • 对于从 {A, B} 这两个不同元素中选取 2 个元素进行排列，有以下两种排列方式：1. AB 2. BA

  • 共有 2! = 2 种不同的排列方式，因为有 2 个元素，每个元素都有不同的位置。

• C(2, 2) - 组合数：

  • C(2, 2) 表示从 2 个不同元素中选取 2 个元素进行组合的方式数。

  • 组合数不考虑元素的顺序，所以在选取 2 个元素的情况下，我们只需要考虑它们的组合方式。

  • 对于从 {A, B} 这两个不同元素中选取 2 个元素进行组合，只有一种组合方式：1. AB

  • 共有 1 种不同的组合方式，因为组合不考虑元素的顺序，将相同元素的不同排列合并为一种情况。

• 总结：

  • P(2, 2) 表示从 2 个不同元素中选取 2 个元素进行排列的方式数，共有 2 种排列方式。

  • C(2, 2) 表示从 2 个不同元素中选取 2 个元素进行组合的方式数，共有 1 种组合方式。

  • 排列数考虑元素的顺序，而组合数不考虑元素的顺序。

6.测试

1.一套五卷的选集在书架上，求自左到右或者自右到左是12345的概率。

• 自左到右是 1, 2, 3, 4, 5 的概率：

• 这意味着这套选集刚好按照顺序 1, 2, 3, 4, 5 排列在书架上。总共有 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 种不同的排列方式，所以概率为 1/120。

• 自右到左是 1, 2, 3, 4, 5 的概率：

• 这意味着这套选集刚好按照顺序 5, 4, 3, 2, 1 排列在书架上。同样地，总共有 5! = 120 种不同的排列方式，所以概率也为 1/120。

• 自左到右或自右到左是 1, 2, 3, 4, 5 的概率为 1/120。这是因为每种排列方式都是等可能的，所以符合条件的排列方式数与总的排列方式数的比值都是 1/120。

2.四个坑1234，两个萝卜

1.前两个坑各种一个萝卜的可能性：

• 萝卜1入坑的可能性4种，萝卜2入坑的可能性4种，一共16种。

• 萝卜1去坑1，萝卜1去坑2，所以是P(2,2)，所以就是1/8.

2.第二个坑正好有一个萝卜的可能性：

• 萝卜1入坑的可能性4种，萝卜2入坑的可能性4种，一共16种。

• 第二个坑正好有一个萝卜的可能性C(2,1)，另外一个萝卜可以去其他三个坑，所以吃C(3,1),所以就是C(2,1)C(3,1) / 4 * 4 = 3/8

3.两个萝卜不再同一个坑里：

• 萝卜1入坑的可能性4种，萝卜2入坑的可能性4种，一共16种。

• 第一个萝卜4种，第二个萝卜3种，所以12/16，互斥考虑：两个萝卜在同一坑里，就是4种，所以1-4/16.

3.5白4黑，任取3球

1. 2白1黑

• 一共是C(9,3),黑的是C(5,2),白的是C(4,1)，所以就是C(5,2)C(4,1) / C(9,3)

2.没黑球

• 一共是C(9,3),白(5,3),所以就是C(5,3) / C(9,3)

3.颜色一样的概率

• 三个黑球加上三个白球，C(5,3) + C(4,3) / C(9,3)

7.性质

• 非负性：0<=P(A) <=1。
• 规范性：P(Ω)=1，P(ø) = 0。
• 有限可加：A1，A2.....An互不相容，则P(A1+A2....An) = P(A1) + P(A2) + P(A3)...P(An)