CMO 2023 P1 解题报告

Problem:

求最小的实数 \(\lambda\)，使得对任意正整数 \(n\)，存在正整数 \(x_1, x_2, \dots, x_{2023}\)，满足 \(n = x_1 x_2 \dots x_{2023}\)，且对于 \(i \in \{1, 2, \dots, 2023\}\)，要么 \(x_i\) 为素数，要么 \(x_i \le n^{\lambda}\)。

Solution:

\(\lambda\) 的最小值应为 \(\frac{1}{1012}\)。

取 \(n = 2^{2024}\)，若此时 \(n = x_1 x_2 \dots x_{2023}\)，可知 \(x_i = 2^{\alpha_i}\)，其中 \(\alpha_i\) 为非负整数，\(i = 1, 2, \dots, 2023\)。由抽屉原理可知，至少存在正整数 \(j \in [1, 2023]\)，满足 \(\alpha_j \ge 2\)。此时 \(n^{\lambda} = 2^{2024\lambda} \ge 2^2\)，即 \(\lambda \ge \frac{1}{1012}\) 符合条件。

下面使用第二数学归纳法证明当 \(\lambda = \frac{1}{1012}\) 时原命题成立。

由算数基本定理可得，\(n = \prod p_i^{{\alpha}_i}\)，其中 \(p_i\) 为素数，记 \(q_n = \sum{\alpha}_i\)，定义 \(S_k = \{ n \, \vert \, q_n = k, n \in \mathbb{Z_+}\}\)。

\((1)\) 对于 \(n \in S_k \, (k = 1, 2, \dots, 2023)\)，易知存在一种方案使得所有 \(x_i\) 为 \(1\) 或为素数，所以此时 \(\lambda = \frac{1}{1012}\) 符合条件。

\((2)\) 假设当 \(n \in S_k, \, k \ge 2023\) 命题成立，则对于 \(n \in S_{k + 1}\)，记 \(a\) 为 \(n\) 的最小质因子，可知 \(a^{k + 1} \le n\)，即 \(a \le n ^ \frac{1}{k + 1}\)。
同时 \(\frac{a}{n} \in S_k\), 由假设可知必定存在 \(t_1, t_2, \dots, t_{2023}\)，不妨设 \(\forall 1 \le i \le 2022, \, i \in \mathbb{Z}, \, t_i \le t_{i +1}\)，要么 \(t_i\) 为素数，要么 \(t_i \le (\frac{n}{a})^{\lambda}\)。若此时令 \(n = (t_1 \times a) \cdot t_2 \dots t_{2023}\)， 可知 \(t_1^{2023} \le \frac{n}{a}\) 且 \(2 \le i \le n, \, i \in \mathbb{Z}\)，均有 \(t_i \le \left( \frac{n}{a}\right)^{\frac{1}{1012}} < n ^ {\frac{1}{1012}}\)，又因为：$$t_1 \times a \le a \times \left(\frac{n}{a}\right)^{\frac{1}{2023}} = a^{\frac{2022}{2023}} \times n^{\frac{1}{2023}} \le n^{\frac{1}{2023} + \frac{2022}{2023(k + 1)}} \le n^{\frac{1}{2023} + \frac{2022}{2023 \cdot 2024}} = n^{\frac{1}{1012}}$$

因此对于 \(n \in S_{k + 1}\) 原命题成立，由归纳法可知当 \(\lambda = \frac{1}{1012}\) 时原命题成立。

综上所述，\(\lambda\) 的最小值为 \(\frac{1}{1012}\)。