[学习笔记] 虚树

今天考了个模拟赛，虚树的题我拿\(LCT\)粗暴卡过，然后被各路神仙疯狂嘲讽，然后就奋发图强，来学了个虚树。

虚树的概念

先放一个例题吧：[SDOI 2011]消耗战

例题单个询问的树形DP可以说是非常简单了，但是多个询问就会\(GG\)，于是我们痛定思痛，发现其实我们并不需要整棵树来转移，我们只需要得到每一个目标节点和他们的\(LCA\)所构成的树即可，而树的边权即为树上两点在原树上的路径中的最小值。

那么像这种由目标节点和他们的\(LCA\)所构成的树即为虚树。

虚树的构造

既然知道了啥是虚树，那么就让我们再来看看虚树应该怎么构造吧。

其实虚树的构造过程类似\(dfs\)。

我们先整个类似\(dfs\)的栈，这个栈里存的只有虚树上需要的节点。

那么对于一个新加入的目标节点 \(x\)（显然目标节点要按\(dfs\)序排序再加入），我们分两种情况讨论：

• \(x\) 在以\(stk[top]\)为根的子树中

• \(x\) 不在以\(stk[top]\)为根的子树中

第一种情况很简单，直接把 \(x\) 加入栈即可。

让我们来具体研究一下第二种情况：

我们找到栈顶结点\((stk[top])\)与 \(x\) 的 \(LCA\) ，我们只需要一直把次栈顶\((stk[top-1])\)与\(LCA\)比较，若 \(dep[stk[top-1]]>dep[LCA]\) ,那么便将给栈顶\((stk[top])\)和次栈顶\((stk[top-1])\)之间连一条边。

如果某一时刻\(dep[stk[top-1]]<dep[LCA]\&\&dep[stk[top]]==dep[LCA]\)，那么就说明\(LCA\)就是\(stk[top]\)，我们只需要连上\((stk[top],x)\)这条边即可。

那么如果\(dep[stk[top]]>dep[LCA]\)呢？

这就说明\(LCA\)并不在虚树中，我们需要连上\((stk[top],LCA)\)，然后将\(LCA\)和 \(x\) 加入栈中。

最后，给出建虚树代码：

void ins(int x){
	int l=lca(x,stk[top],0);
	while (top>1&&dep[l]<dep[stk[top-1]]){
		E[stk[top]].push_back(stk[top-1]);
		E[stk[top-1]].push_back(stk[top]);
		--top;
	}
	if (dep[stk[top]]>dep[l]){
	    E[stk[top]].push_back(l);
	    E[l].push_back(stk[top]);
	    --top;
	}
	if (stk[top]!=l) stk[++top]=l;
	stk[++top]=x;
}