第九周第二天

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了解到的知识点：
1.凸集的极点和极方向
先说凸集的概念：在线性规划中，凸集是指对于集合中任意两点，连接这两点的线段上的所有点也都属于该集合。数学定义：
集合S ⊆ ℝⁿ是凸集，如果对于任意x₁, x₂ ∈ S和任意λ ∈ [0,1]，都有：
λx₁ + (1-λ)x₂ ∈ S
极点是凸集中不能被表示为集合中其他两个不同点的严格凸组合的点，极方向描述了无界凸集无限延伸的方向。
对于标准形式的线性规划问题，极点对应于基可行解，极方向对应于使目标函数值无限减小的方向(当问题无界时)
计算方法
极点：
对应于约束条件的交点
在单纯形法中对应于基可行解
极方向：
对应于使Ax=0且x≥0的非零解
可以通过分析约束矩阵的零空间得到
2.单纯形法
单纯形法是求解线性规划问题的一种有效算法，它通过迭代的方式在可行域的顶点（极点）之间移动，逐步优化目标函数，直至找到最优解或判定问题无界
单纯形法通常要求LP问题为标准形式：
最大化z=cTx
约束条件Ax=b
x≥0
其中：
x 是决策变量向量
c 是目标函数系数向量
A 是约束矩阵（m×n）
b 是右端项（非负，b≥0）
如果原问题不是标准形式，可以通过以下方式转换：
松弛变量（≤约束）或剩余变量（≥约束）引入等式约束
自由变量（无约束变量）用两个非负变量之差表示