一、离散信号和系统的表示（二）

时域离散系统

离散系统的定义与分类

1.线性系统与非线性系统

例题

注：证明一个系统是线性系统的步骤：

• 常见的线性系统
  
• 常见的非线性系统
  

2.时不变与时变系统

例题

• 常见的时不变系统
  

• 常见的时变系统
  

• 理解非时变系统的证明

  • 对于一个系统的输入信号\(x[n]\)，经过系统后得到输出信号\(y[n]\)
  • 将输入信号\(x[n]\)应用一个时间延迟\(n_0\)，得到新的输入信号\(x(n-n_0)\),经过系统后得到新的输出
  • 比较\(y[n-n_0]\)与\(T[x(n-n_0)]\)是否相等，若相等，则为时不变系统。

3.因果系统与非因果系统

注：例如系统\(y(n) = x(n) + x(n-1)\)，对于输出\(y(n)\)，它只依赖于当前时刻\(n\)的输入和前一个时刻\(n-1\)的输入，因此是因果系统；而对于\(y=x(n+1)\)这样的系统，输入\(n\)时，输出能预测\(n+1\)时刻的输出，因此是非因果系统

例题

4.稳定系统与不稳定系统

注：一句话概括，稳定系统“有界输入有界输出”，不稳定系统“有界输入可能无界输出”

例题

离散系统的数学模型————常系数微分方程

1.时域离散系统的基本单元————D延时

2.一阶时域离散系统的结构

3.关于常系数差分方程的一些概念

例题

线性时不变系统

• 线性时不变系统的定义：同时满足线性和时不变特性的系统
• 系统单位脉冲响应的定义：系统输入为\(\delta(n)\)时的输出定义为单位脉冲响应\(h(n)\)，对于\(y(n)=T(x(n))\),有\(h(n)=T((\delta))\)
• 对于线性时不变系统：
  • 

序列卷积的运算规则在离散系统中的意义

1.结合律

2.分配律

线性时不变系统具有因果性的充要条件

线性时不变系统稳定的充要条件

例题

数字信号模拟化

1.采样

• 按一定间隔取连续信号的样本，得到离散信号
  

2.量化

• 将离散信号的取值量化到某个离散值集上，能够以二进制编码的形式表示
  

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采样和量化会不会引起信号中信息的丢失？

时域信号抽样理论分析

理想冲击采样的建模

采样后的序列\(x_a(n)\)的表达式

采样序列的周期性分析

频谱分析

抽样信号的频谱

奈奎斯特采样定理