12.B+树和动态哈希

索引结构

• 顺序存储文件的缺点
  • 随着文件增多性能衰退
  • 需要定期整理整个文件
• B+ 树索引
  • 所有商业 DBMS 产品中有序索引的默认实现
  • 通过规范的插入删除操作，不会产生上述问题

B+ 树索引

B+树的性质

• B+ 树是一颗平衡树，即所有叶节点深度相同
• 从根到叶子节点的所有路径都具有相同的长度
• 每个节点都有数量在之间的指针
• 每个叶节点存储数量为之间的数据值
• n 称为扇出 fanout（指针/子节点的最大数量）
• 值 称为 order 阶数
  

特别的例子

• 如果根不是叶节点，它至少有两个子节点
• 如果根是叶节点（即树中没有其他节点），则它可以具有 0 到（ n - 1 ）个数据值

B+ 树的节点

• 

B+ 树查询

如果需要查询一个值 a，从根节点开始

• 在当前节点内部寻找 \(p\)_\(i\) 以至于 \(k\)_\(i-1\) ≤ \(a\) < \(k\)_i
• 调到 pi 指向的子节点
• 重复以上步骤直到叶子结点，如果在叶子结点中找不到等于 a 的 key，则该树不包含值为 a 的key
• 例子：搜索值 5、15 和大于等于 24 的值
  • 

B+ 树插入

插入键值 K

• 用键值 k 进行查询得到叶节点 L
• 将 k 插入 L 中
  • 如果 L 有空位，则已经完成
  • 如果 L 没有空位，则将 L 分裂成 L 和 L2
    • 将 keys 平分
    • 更新 L 的父节点：插入 L2 的最左侧数值
      
• 我们的处理：如果没特别要求，奇数个键值的情况下左侧多分一个
• 如果父节点也因为加入推上来的数值而 space 溢出：
  • 由下往上递归地更新节点
    • 要分割非叶节点，均匀地重新分配其他键值。此外，将中间键值往父辈节点推进（插入）
    • 

B+ 树删除

删除键值 K

• 用 K 值查询得到其所在叶节点 L
• 将 K 从 L 中移除
  • 如果 L 有超过半数 key，则结束
    • 否则，从右侧兄弟节点索取一个 key
    • 如果右侧节点少于半数 + 1 个 key，则需要合并两个节点
      • 发生合并，会导致父节点的一个 key 删除
        • 从 L 的父级删除一个键值（指向 L ）
        • 在极端条件下，删除也可导致连锁反应，一层一层向上反应

例子：

B+ 树更新

• 考虑下面的B+树，其阶数为2（这意味着除了根节点外，每个节点必须至少包含两个键值和三个指针）
  

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• 

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B+ 树文件组织

• 索引退化问题可以用 B+ 树索引解决，得到一直规整的索引
• 数据文件退化问题（碎片化）可以用 B+ 树来组织文件存储
  • 要求：叶节点存的是记录（数据）本身，而非指向它们地址的指针
  • 由于数据记录一般比指针大，叶节点中可存储的最大记录数小于非叶节点中的指针数
  • 

动态哈希

静态哈希

• 将搜索键值固定映射到某一个桶 Bucket 中（代表一个存储地址）
• 数据随着时间增长，如果数据持续增长，有由于过多的溢出导致该 index 的性能退化（变慢）
• Bucket 的数量是固定的
• 溢出桶会导致哈希搜索变慢，为什么不增加 Buckets？
  • 增加 Buckets 需要对原来的数据进行整理，涉及到读写全部 pages，时间成本昂贵！
  • 

动态哈希

• Bukcets 数目是可以动态调整的
• 使用指向 Buckets 的目录指针，通过将目录加倍来将存储桶的数目加倍，仅拆分溢出的存储桶！
• 哈希结果跟数据位置中间加一层指针
• 哈希地址不直接存放记录，而是存放记录的指针，增加 Buckets 时，只需要增加记录的指针，从而只需要对指针而不是对记录进行整理，成本小很多
  

例子：

• 目录是一个大小为4的数组，要找到搜索键 r 的存储桶，我们用 2 个 bit 就可以实现这四种选择。

• 对于任意搜索键，我们看它的倒数 2 位（ = global deepth ），例如 r = 5，h ( r ) = 5 = 101，则该记录在 01 所指向的桶

• Globle depth：将一个元素映射到一个桶时需要看多少位，在上图是 2

• Local depth：桶中所有元素相同尾数序列长度，在上图中都是 2

• 插入 hash value = 20 会导致桶溢出，进而分裂

• Global depth 的全局深度为 3，现在对一个数进行哈希，需要看后 3 位了
  

• Local depth：

  • A1 桶是 3，决定该元素映射到该桶的位数，其中的元素需要看 3 位才能知道是映射到 A1
  • B 桶是 2，001 与 101 都指向 B

• Local depth = global depth - log2 ( 连接线段数量 ）

桶分裂什么时候会导致目录加倍

1. 插入之前， local depth of bucket = global depth
2. 插入导致 local depth > global depth!
3. 然后会把指针目录翻倍（ global depth + 1 ），并将溢出的 bucket 分裂，更新指针与 bucket 的指向关系。

动态哈希的例子

假设以下哈希索引，其中哈希函数由最低有效位确定，

• 插入 Insert 18 ( 10010 ), 32 ( 100000 )
  
• 接下来插入 3 ( 11 ), 4 (100 )
  
• 再插入 19 ( 10011 ), 17 ( 10001 )
  
• 再插入 24 ( 11000 )
  

动态哈希：删除

删除：插入过程反过来

1. 如果删除导致 bucket 变空的话，将其与其镜像合并（譬如 001 与 101 合并），合并后 local depth 减一
2. 当因为一系列删除操作，导致指针目录的任意指针与其镜像指针均指向同一个 bucket，则可以整体将指针目录缩减一半
   

在候选键上进行聚簇 B+ 树的示例