概率和期望 简单了解

概率

基本事件定义：指试验中可能出现的一个结果

1. 必然事件
   定义：在此次试验中，必然发生的事件，即其\(P\)值为\(100\%\)
2. 不可能事件
   定义：在此次试验中，不可能发生的事件，其\(P\)值为\(0\)
3. 随机事件
   定义：在此次试验中，可能发生也可能不发生的事件，其\(0 \leqslant P \leqslant 1\)（当\(P=1\)时是必然事件，当\(P=0\)时是不可能事件）

概率定义：指一个随机事件发生的概率，通常用\(P(A)\)表示\(A\)事件发生的概率

其他事件定义（指几个互相有关联的事件）

1. 等可能事件：在一次试验中，它由\(n\)个基本事件组成，且每个基本事件发生的概率都是相等的，那么我们称这\(n\)个事件为等可能事件
2. 互斥事件：在一次试验中，由两个随机事件\(A,B\)，若\(A\)发生，则\(B\)不可能发生，若\(B\)发生，则\(A\)不可能发生，我们称它们为互斥事件（即\(P(A \cap B)= \empty\)，表示\(A,B\)不可能同时发生，\(\empty\)表示空集的意思）
3. 对立（互补）事件：在一次试验中，若在\(A,B\)事件中，\(A和B\)必然有一个且只有一个发生，那么我们称它们为对立（互补）事件（即\(P(A \cup B)=S\)，且\(P(A \cap B)=\empty\)，表示\(A,B\)中任意发生一个的事件存在与这个试验的所有集合里面，但\(A,B\)不能同时发生）
   （注意互斥事件与对立事件的区别）
4. 和事件：\((A \cup B)\)称为\(A,B\)的和事件，表示\(A,B\)中任意发生一个的概率，有\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
5. 积事件：\((A \cap B)\)称为\(A,B\)的积事件，表示\(A,B\)同时发生的概率，如果\(A,B\)互不干扰，有\(P(A \cap B)=P(A)*P(B)\)

概率的性质

1. 非负性：即\(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\)
2. 如果\(A,B\)互为对立事件，则\(P(A)+P(B)=1\)
3. 一个重要的知识点伯努利大数定理（待补）

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期望

定义：是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和

计算：我们设\(A_1,A_2...A_n\)表示\(n\)种事件出现的概率，\(P_1,P_2...P_n\)表示这\(n\)种事件的值，则对于事件\(X\)的期望值\(E(X)=\sum_{i=1}^{n}A_iP_i\)

概率与期望应用

Codeforces Round #730 (Div. 2)——C. Need for Pink Slips（题目）

题目大意：有三个数\(c,m,p\)，抽中他们的概率分别为\(P_c,P_m,P_p\)，抽到\(p\)游戏结束，抽到\(c或m\)，将其概率减\(v（不足则减本身）\)，然后平均分配到其他两个数上（若概率为\(0\)则不分，放到另一个身上），问游戏轮数的数学期望

分析：暴力\(dfs\)模拟即可，注意\(double\)精度判断问题

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;
double c,m,p,v,mans;
void dfs(double c,double m,double p,double v,double s,int j)
{
//	printf("%.6lf %.6lf %.6lf %.6lf %.6lf\n",c,m,p,v,s);
//	printf("dfs : %.6lf %.6lf\n",p*s*1.000000,s);
	mans+=p*s*1.000000*j;
	double g;
	if (c-0>=0.0000001)
	{
		if (c>=v) g=v;
		else g=c;
		c-=g;
		if (m-0>=0.0000001) m+=g/2;
		else p+=g/2;
		if (p-0>=0.0000001) p+=g/2;
		else m+=g/2;
		dfs(c,m,p,v,s*(c+g),j+1);
		c+=g;
		if (m-g/2==0) p-=g/2; else m-=g/2;
		if (p-g/2==0) m-=g/2; else p-=g/2; 
	}
	if (m-0>=0.0000001)
	{
		if (m>=v) g=v;
		else g=m;
		m-=g;
		if (c-0>=0.0000001) c+=g/2;
		else p+=g/2;
		if (p-0>=0.0000001) p+=g/2;
		else c+=g/2;
		dfs(c,m,p,v,s*(m+g),j+1);
		if (c-g/2==0) p-=g/2; else c-=g/2;
		if (p-g/2==0) c-=g/2; else p-=g/2; 
	}
}
int main()
{
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		mans=0;
		cin >> c >> m >> p >> v;
		dfs(c,m,p,v,1,1);
		printf("%.6lf\n",mans);
	}
}