扩展欧几里得

扩展欧几里得

扩展欧几里得

问题：对于三个自然数\(a,b,c\)，求\(ax+by=c\)的整数解

求解：

1. 首先判断有无解，存在解的要求是\(gcd(a,b) \mid c\)（感性理解一下）

2. 那么现在我们只要解出\(ax+by=gcd(a,b)\)之后在乘上\(c/gcd(a,b)\)即可

3. 之后我们再将两边同时\(/gcd(a,b)\)，得\(a_tx+b_ty=1\)（\(gcd(a_t,b_t)=1\)）

4. 将等式变换$$\begin{aligned} a_tx+b_ty&=gcd(a_t,b_t) \ &=gcd(b_t,a_t\mod b_t) \ &=b_tx+(a_t \mod b_t)y \ &=b_tx+(a_t-\lfloor \frac{a_t}{b_t} \rfloor b_t)y \ &=a_ty+b_t(x-\lfloor \frac{a_t}{b_t} \rfloor y)\end{aligned}$$我们发现此时的\(x\)变成了\(y\),\(y\)变成了\(x-\lfloor \frac{a_t}{b_t} \rfloor\)，于是我们就可以递归求解\((x,y)\)了

5. 边界条件其实和前面朴素欧几里得是一样的\(b=0\)的时候，我们有 \(a=1,ax+by=1\)那么此时\(x=1,y=0\)，这样做完的话我们用\(O(log)\) 的时间就会得到一组\((x,y)\)的特殊解

6. 最后将\((x,y)\)乘上\(c/gcd(a,b)\)

代码实现：（记得将下\(x,y\)乘上\(c/gcd(a,b)\)）

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;

void read(int &sum)
{
	sum=0;char last='w',ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') last=ch,ch=getchar();
	while (ch>='0' && ch<='9') sum=sum*10+ch-'0',ch=getchar();
	if (last=='-') sum=-sum;
}
int gcd(int a,int b)
{
	if (a%b==0) return b;
	else return gcd(b,a%b);
}
void EX_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if (b==0) x=1,y=0;
	else EX_gcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;	
}
int a,b,c;
signed main()
{
//	freopen("M.in","r",stdin);
//	freopen("M.out","w",stdout);
	read(a),read(b),read(c);
	int t=gcd(a,b);
	if (c%t!=0) { printf("no!"); return 0; }
	a/=t,b/=t;
	int x,y;
	EX_gcd(a,b,x,y);
	x*=c/t,y*=c/t;
	printf("yes! %lld %lld\n",x,y);
//	fclose(stdin);fclose(stdout);
	return 0;
}