康托展开与逆康托展开原理

• 1. 康托展开

  • 康托展开的公式是 X=an * (n-1)! + an-1 * (n-2)! + ... + ai * (i-1)! + ... + a2 * 1! + a1 * 0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。

    举个例子来说明一下。例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以： X(s1) = a4 * 3! + a3 * 2! + a2 * 1! + a1 * 0!

  • 关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？

    1. a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。

    2. a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。

    3. a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。

    4. a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）

    5. 所以，X(s1) = 3 * 3! + 1 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20

  • CODE：

    int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; // 阶乘
    int Cantor(int s[],int n){ // 康托展开
    int num=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
    int temp=0; // 记录数字是第几大
    for(int j=i+1;j<n;j++)
    if(s[i]>s[j]) temp++;
    num += temp*fac[n-1-i];
    }
    return num+1;
    }

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• 2. 通过康托逆展开生成全排列

  • 例 1.如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？

    • 因为已知 X(s1) = a4 * 3! + a3 * 2! + a2 * 1! + a1 * 0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
      　　
      　　3 * 3! + 1 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20
      　　
      　　2 * 3! + 4 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20
      　　
      　　1 * 3! + 7 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20
      　　
      　　0 * 3! + 10 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20
      　　
      　　0 * 3! + 0 * 2! + 20 * 1! + 0 * 0! = 20
      　
      　 等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：

  
  　　
  　　知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D"，s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B"，s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A"，s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C"，所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。

  - 例 2.{1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕，找出第96个数
  　　
  　　首先用96-1得到95
  　　
  　　用95去除4! 得到3余23
  　　
  　　用23去除3! 得到3余5
  　　
  　　用5去除2!得到2余1
  　　
  　　用1去除1!得到1余0有3个数比它小的数是4
  　　
  　　所以第一位是4
  　　
  　　有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以是5（因为4在之前出现过了所以实际比5小的数是3个）
  　　
  　　有2个数比它小的数是3
  　　
  　　有1个数比它小的数是2
  　　
  　　最后一个数只能是1
  　　
  　　所以这个数是45321

  • CODE：

    /-----------------------------------------------------------------------------------
    *名称 ：逆康托展开
    作用 ：已知最初排列，按字典序排序后找到第x个序列
    *-----------------------------------------------------------------------------------/

    define ll long long

    define cls(x) memset(x,0,sizeof(x))

    const int MAX_N = 11; // 排列长度
    const int MAX_C = 9; // 需要的最大阶乘N!
    ll fac[MAX_C];

    // 初始化阶乘系数
    void init_fac(){
    fac[1] = fac[0] = 1;
    for(int i = 2 ; i < MAX_C ; i ++) fac[i] = fac[i-1]*i;
    }
    // 寻找由1~n组成全排列按字典序排序后第x个排列
    void uCT(int n,int x){
    bool vis[MAX_N]; cls(vis);
    int ans[MAX_N]; cls(ans);
    x--;
    int i , j;
    for(i = 0 ; i < n ; i++){
    int t = x/fac[n-i-1]; // 每次都寻找第t大的数
    for(j = 0 ; j < n ; j++){
    if(!vis[j]){
    if( t == 0 ) break;
    t -- ;
    }
    }
    ans[i] = j;
    vis[j] = 1;
    x %= fac[n-i-1];
    }
    for(i = 0 ; i < n ; i++) printf("%d ",ans[i] + 1);
    puts("");
    }

前面的文字转载自 http://archive.cnblogs.com/a/2026276/