【随笔杂谈】十二重计数法关于前九重的 OGF 与 EGF 推导

一：一个盒子可以随意放入若干个球，对于固定的 \(k\) 个球有且仅有 \(1\) 种方案。其 EGF 为 \(\hat F(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{k!}x^k=e^x\)。我们要把 \(n\) 个球划分成 \(m\) 个有序子集，\(m\) 个不同盒子的总 EGF 是 \((e^x)^m=e^{mx}\)。答案为 \([\frac{x^n}{n!}]e^{mx}=m^n\)。

二：一个盒子是 \(1+x\)，\(m\) 个盒子是 \((1+x)^m\)。我们要求的答案是 \(\left [\frac{x^n}{n!}\right](1+x)^m\)，考虑对这个刻画一个 \(F(x)=\sum\limits_{i=0}^m\binom{n}{i}x^i\)，但是这个是一个 OGF 的形式，转换成 EGF 就是 \(\hat F=\sum\limits_{i=0}^{m}i!\binom{n}{i}\frac{x^i}{i!}\)。所以答案是 \(n!\binom{m}{n}=m^{\underline n}\)。

三：一个盒子至少装一个，其 EGF 为 \(\hat F(x)=\sum\limits_{i=1}^\infty\frac{1}{i!}x^i=e^x-1\)。答案是 \(\left[\frac{x^n}{n!}\right](e^x-1)^m\)。这个可以直接二项式定理展开，\((e^x-1)^m=\sum\limits_{i=0}^m \binom{m}{i}e^{ix}(-1)^{m-i}\)。我们知道 \(e^{ix}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(ix)^k\)，带入可以得到 \((e^x-1)^m=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\left (\sum\limits_{j=0}^{m}\binom{m}{j}j^i(-1)^{m-i} \right )\frac{x^i}{i!}\)，因此 \([\frac{x^n}{n!}](e^x-1)^m=\sum\limits_{i=0}^{m}\binom{m}{i}i^n(-1)^{n-i}\)。

四：此时盒子之间没有区别，仅被不同标号的球所划分。对于一个非空的盒子，其 EGF 为 \(\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i!}x^i=e^x-1\)。总 EGF 为 \(\sum\limits_{i=0}^{m}\frac{1}{i!}(e^x-1)^i\)。显然后面可以二项式定理展开，等同于 \(\sum\limits_{i=0}^{m}\frac{1}{i!}\left (\sum\limits_{j=0}^{i}\binom{i}{j}e^{jx}(-1)^{i-j}\right )\)。我们改变枚举顺序，\(\sum\limits_{j=0}^{m}e^{jx}\sum\limits_{i=j}^{m}\frac{1}{i!}\binom{i}{j}(-1)^{i-j}\)，考虑简化内层的 \(\frac{1}{i!}\binom{i}{j}=\frac{1}{j!(i-j)!}\)，内部的式子就变成了 \(\sum\limits_{i=j}^{n}\frac{(-1)^{i-j}}{j!(i-j)!}=\frac{1}{j!}\sum\limits_{i=0}^{n-j}\frac{(-1)^i}{i!}\)。我们带回得到 \(\left [\frac{x^n}{n!}\right ]\sum\limits_{i=0}^{n} \frac{e^{jk}}{j!}\sum\limits_{i=j}^{n}\frac{(-1)^{i-j}}{(i-j)!}=\sum\limits_{j=0}^{n}\frac{j^n}{j!}\sum\limits_{i=0}^{n-j}\frac{(-1)^{i}}{i!}\)。

五：单个非空盒子是 \(\sum\limits_{i=1}^{1} \frac{1}{i!}x^i = x\)，\(m\) 个非空盒子是 \(\sum\limits_{i=0}^{m} \frac{1}{i!}x^{i}\)。\(\left[\frac{x^n}{n!}\right]\sum\limits_{i=0}^{m}\frac{1}{i!}x^i=[n\le m]\)。

六：单个盒子是 \(\hat F(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i!}x^{i}=e^x-1\) 的。整体就是 \(\left[\frac{x^n}{n!}\right]\frac{1}{m!}(e^x+1)^m\)，然后就和上面的 三. 完全相同了。

七：单个盒子是 \(F(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}x^i = \frac{1}{1-x}\)。整体就是 \(\left[x^n\right]\left(\frac{1}{1-x}\right)^m\)，考虑直接广义二项式定理展开，\(\frac{1}{(1-x)^{m}}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\binom{i+m-1}{i}x^i\)。答案就是 \(\binom{n+m-1}{n}\)。

八：单个盒子是 \(F(x)=\sum\limits_{i=0}^{1}x^i=1+x\)，我们要求的就是 \(\left[x^i\right](1+x)^m\)，二项式定理展开，\((1+x)^m=\sum\limits_{i=0}^{m}\binom{m}{i}x^{i}\)。答案就是 \(\binom{m}{n}\)。

九：单个盒子是 \(F(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}x^i=\frac{x}{1-x}\)。我们要求的是 \(\left[x^n\right]\frac{x^m}{(1-x)^m}=[x^{n-m}]\frac{1}{(1-x)^m}\)。后面就和 七. 相同了。