【学习笔记】基础数学相关-生成函数

我们先用一道题来引入生成函数：P10780 食物

什么是生成函数呢？我们现在有一个序列 \(\{a_i\}\)，我们将其写成 \(A(x) = \sum a_ix^i\) 的形式，这种就叫做普通生成函数。

很显然的是对于 \(A(x)\) 这种生成函数，运算规律是和普通函数一样的。

那么我们回归这道题，对于不同的食物我们可以构建不同的选取序列。

• 承德汉堡：偶数个，因此其对应序列为 \(\{1,0,1,0,1,\cdots\}\)，生成函数为 \(\frac{1}{1-x^2}\)

• 可乐：0 个或 1 个，因此其对应序列为 \(\{1,1,0,0,0,\cdots\}\)，生成函数为 \(1+x\)

• 鸡腿：0 个，1 个或 2 个，因此其对应序列为 \(\{1,1,1,0,0,\cdots \}\)，生成函数为 \(1+x+x^2\)

• 蜜桃多：奇数个，因此其对应序列为 \(\{0,1,0,1,0,1,\cdots\}\)，生成函数为 \(\frac{x}{1-x^2}\)

• 鸡块：4 的倍数个，因此其对应序列为 \(\{1,0,0,0,1,0,\cdots\}\)，生成函数为 \(\frac{1}{1-x^4}\)

• 包子：0 个，1 个，2 个或 3 个；因此其对应的序列为 \(\{1,1,1,1,0,\cdots\}\)，生成函数为 \(1+x+x^2+x^3\)

• 土豆片炒肉：不超过一个；因此其对应序列为 \(\{1,1,0,0,0,\cdots\}\)，生成函数为 \(1+x\)

• 面包：3 的倍数个；因此其对应序列为 \(\{1,0,0,1,0,\cdots\}\)，生成函数为 \(\frac{1}{1-x^3}\)

我们得到了很多很多的生成函数，把这些乘起来，化简得到 $f(x) = \frac{x}{(1-x)^4} $，后面的就很板了

• P3978 [TJOI2015] 概率论

发现这道题似乎很牛！我们定义一个 \(f_n\) 表示有 \(n\) 个点的二叉树个数，\(g_n\) 表示 \(n\) 个节点的二叉树的叶子节点总数喵。

那么对于 \(f_n\) 和 \(g_n\) 有什么关系呢？打表发现 \(g_n=nf_{n-1}\)，我们去尝试证明它们的关系嘛喵。

很容易发现这个 \(f_n\) 是卡特兰数啊，我们知道卡特兰数的递推公式是 \(C_n = \sum_{i=0}^{n-1} C_{i}C_{n-1-i}\)，而通过枚举左右子树大小可以得出 \(f_n\) 和 \(g_n\) 的关系：\(g_n = 2\times \sum_{i=0}^{n-1}g_if_{n-i-1}\)。

我们设 \(F(x)\) 为 \(f\) 的生成函数，\(G_(x)\) 为 \(g\) 的生成函数，那么可以得到 \(F(x)=xF(x)^2+1,G(x)=2xF(x)G(x)+x\)

可以发现 \(F(x)\) 封闭形式为 \(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\)，可以得出 \(G(x)=\frac{x}{\sqrt{1-4x}}=x\sum_{i=0}\dbinom{-\frac{1}{2}}{i}(-4x)^i\)

我们计算得到 \(g_n=\dbinom{-\frac{1}{2}}{n-1}(-1)^{n-1}2^{2(n-1)}\)，化简后得到 \(g_n=\dbinom{2n-2}{n-1}\)

直接计算 \(ans=\frac{f_n}{g_n}\)，\(f_n\) 是卡特兰数，下面的刚才算出来了，可以算出 \(ans=\frac{n(n+1)}{4n-2}\)

• P4451 [国家集训队] 整数的lqp拆分

斐波那契额数列的生成函数是 \(\text {Fib}(x)=x\text {Fib}(x)+x^2\text {Fib}(x)+x\)，封闭形式为 \(\frac{1-x-x^2}{x}\)

拆分为恰好 \(k\) 个数时，答案的生成函数是 \(\text{Fib}(x)^k\)，那么总的答案就是 \(G(x)=\sum_{i=0} \text {Fib}(x)^i = \frac{1-x-x^2}{1-2x-x^2}\)