【做题纪要】衡实初三模拟测试三

本来以为打完最多能拿\(120\)分所以没打，事实上自己做法能拿\(170\)分也就能到rk1，血亏

本次模拟赛不知道怎么拼出来的，一共4道题有3道题需要文件输出，最后出现了9道题的题解

都没写代码，凑合着看，思路肯定是能过的(吧？)

网格图

这个题一眼过去可以用暴力 bfs 来打，复杂度\(O(n^2k^2)\)可以得到 \(50\) 分

赛时有诡异优化可过，按照每个正方形连接的连通块个数去排序，不连通任何连通块的时候不进行查找，然后复杂度是玄学最劣能达到\(O(n^4)\)，也就是点叉交错的情况，得分预估\(100\)pts，我和nishishui123都想到了这个做法但是我没打

然后仔细看一下发现可以用LCT维护，最开始预处理把所有空格子都link起来，在每次变化后都可以直接link再查询子树大小即可

复杂度\(O(n^2 k \log k)\)，带个 $\log $ 而且 LCT 常数巨大所以(可能)过不去，但似乎数据比较水所以(好像)可过，我没打

最后是官方题解，先用并查集标出每个连通块的编号并求出连通块大小，然后在修改时查询一圈所对应连通块的大小取\(\max\)，复杂度\(O(n^4)\)

发现每次修改都只会在两列内产生影响，因此可以将复杂度降低到\(O(n^3)\)

序列问题

暴力\(dp\)，转移方程 \(f_i=\begin{cases}\max\{f_j+1\} & a_j<a_i且a_i−a_j<i−j \\ f_i & \text{others}\end{cases}\)

满足 \(a_j<a_i\) 且 $ a_i−a_j<i−j$ 一定会满足 \(j<i\)

所以直接按照 \(a_i\) 排序，求一个 \(i-a_i\)的最长上升子序列，所以优化成\(O(n \log n)\)

置换

这道题是NOI2016模拟赛的day1T3，一看就非常可做啊，似乎是全场最难题

我先挂个官方题解，但是似乎不是很能看懂

找个啥时候分析官方题解吧，但是现在我还没看懂

要想看懂官方题解，首先我们要知道置换是什么

一个有限集合 \(S\) 到自身的双射（即一一对应）称为 \(S\) 的一个置换。集合 \(S=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) 上的置换可以表示为

\[f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\ a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n} \end{pmatrix} \]

意为将 \(a_i\) 映射为 \(a_{p_i}\) ，其中 \(p_1,p_2,\dots,p_n\) 是 \(1,2,\dots,n\) 的一个排列。

显然 \(S\) 上所有置换的数量为 \(n!\)

(来自\(\text{OI-wiki}\))

恒等置换也就是在进行置换后没有进行任何改变

首先我们先来分析 \(10\) 分做法

显然，一个置换的贡献是它的所有轮换的 \(\text{lcm}\) 的平方

经过大佬的讲解，大概看懂了

一个形如2 3 1 5 4的置换拆成2 3 1和5 4两个轮换后前者显然经过三次回到原位，后者显然经过两次轮换回到原味

那么这个置换经过 \(6\) 次回到原位，是两者的乘积

那么很明显，一个置换需要它所有轮换的 \(\text{lcm}\) 次才能回到原位，其贡献也就是所有轮换 \(\text{lcm}\) 的平方

只要分析出这点，\(30%\sim60%\)的第二种做法就很显然了，第一种我没看

同桌的你

基环树，我不会，但是本题公认比T3简单