卡特兰数

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title: 【学习笔记】卡特兰数
categories: "学习笔记"
tags:
- 卡特兰数
- 数论,数学
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一个常见于数学问题中的数列，需要对题目有缜密的分析，而后便可以方便地解出答案。

*这是本博客第一篇使用 $LaTeX$ 语法的文章，如有错误还请见谅。

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卡特兰数又称卡塔兰数（Catalan Number），是组合数学中一个经常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814–1894）的名字来命名。其前几项（下标从 0 开始）为：

1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900, ...

~~1730年我国清朝时期的明安图（蒙古人）比 Catalan 更早使用了 Catalan 数，见《割圜密率捷法》。~~
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## 公式
递推式：

>$f(n) = \sum_{i=0}^{n-1}f(i) \times f(n-i-1)$

另类递推式：

>$f(n) = \frac{f(n-1) \times (4 \times n - 2)}{n+1}$

组合式：

>$f(n)= \frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$

另类组合式：

>$f(n)=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$

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## 应用

卡特兰数常见于下列问题：

>1. 连乘括号化
2. 出栈次序
3. 凸多边形三角形划分
4. 给定节点组成二叉树
5. $n$ 对括号正确匹配

下面是三道经典的例题：

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### 二叉树的计数

#### 问题描述

已知一棵二叉树有 $n$ 个节点，问：该二叉树能组成多少种不同的形态？

#### 解题思路

设二叉树左子树节点数为 $i$，则右子树节点数为 $n-i-1$。

又设 $n$ 个节点的二叉树状态数为 $f(n)$，即可得到递推式

>$f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}f(i) \times f(n-i-1)$

答案是卡特兰数。

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### AB排列问题

#### 问题描述

有 $n$ 个 A 和 $n$ 个 B 排成一排，从第一个位置开始到任何位置，B 的个数不能超过 A 的个数，问：这样的排列有多少种？

>$n=1$ 时：AB，$f(1)=1$
$n=2$ 时：AABB ABAB，$f(2)=2$
$n=3$ 时：AAABBB AABBAB ABAABB ABABAB，$f(3)=5$

#### 解题思路

即出栈次序问题。
如下图，上箭头表示 A，下箭头表示 B，递推得出结论为卡特兰数。


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### [NOI 1988]乘法加括号

#### 问题描述

对于连乘 $a_0\times a_1\times a_2\times …\times a_n$，加了括号后可改变它的运算顺序。问：有多少种不同的运算顺序？

#### 解题思路

将连乘表示为一棵二叉搜索树，将 “$\times$” 作为节点，得到组合方案数为 $f(0) \times f(n-1)+ f(1) \times f(n-2)+...+f(n-1) \times f(0)$

同 二叉树的计数

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## 参考资料

《信息学奥赛之数学一本通》 林厚从

[卡特兰数_百度百科](https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%A1%E7%89%B9%E5%85%B0%E6%95%B0/6125746?fr=aladdin)