概率论

第一章

1.确定性现象
2. 随机现象具有统计规律性

1.随机事件（事件）样本空间的子集
2. 基本事件一个样本点组成的单点集
3. 必然事件样本空间S

1.随机事件的关系：
包含：发生A时必然发生B，则B包含A

等于：A与B互相包含

并集（和事件）：当且仅当A，B至少其中一个发生时发生的事件

交（ji事件）：A，B同时发生相交

互斥：交集为空集不可推对立

差：A-B等价 A交B的补集

对立：可推互斥，条件是AB交为空集，A并B为全集

第二章

条件概率：P（B|A）右边A是条件，得到这个数分母是条件的概率分子是交集的概率
条件概率P(B|A)中,P(A)不能为0,因为分母不为0
全概率公式：前提\(B_i\)是样本空间E的划分（或满足互斥但是求并不是全集S,求并后是概率为1）
A是其中一事件
\(P(A)=\sum_{i=1}^n{P(A|B_i)P(B_i)}，P(B_i)>0\)
贝叶斯公式：\(P(B_i|A)=P(A/B_i)P(B_i)/P(A)\)
P(A)用全概率计算
乘法公式：
\(P(A_1A_2...A_n)=P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})P(A_{n-1}|A_1A_2...A_{n-2})...P(A_2|A_1)P(A_1)\)
独立事件：事件A发生的条件下不影响B发生的概率
\(P(B|A)=P(B), P(AB)=P(A)P(B)\)
独立事件
对立事件
互斥事件

0-1分布

二项分布X~b(n,p)

泊松分布X~\(\pi\)(\(\lambda\))

\[p\{X=k\}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \quad k=0,1,2,..., \]

均匀分布X~U(a,b)

指数分布

正态分布X~N(\(\mu\),\(\sigma^2\))

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

\[F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}{\rm d}t \]

第三章

边缘概率密度

连续型随机变量\((X,Y)\)，设它的概率密度为

X连续型随机变量的概率密度

\[f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y){\rm d}x \]

\[f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y){\rm d}y \]

条件概率密度

\[f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} \]

Y=y的条件下，x的条件分布函数

\[\int_{-\infty}^{x} f_{X|Y}(x|y){\rm d}x=\int_{-\infty}^{x}\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}{\rm d}x \]

Z=X+Y的概率密度

\[f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(z-y,y){\rm d}y \]

\[f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x){\rm d}x \]

当X,Y独立时可以用卷积公式

\[f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(z-y)f_Y(y){\rm d}y \]

\[f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x){\rm d}x \]

Z=Y/X的概率密度

\[f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x,xz){\rm d}x \]

Z=YX的概率密度

\[f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x}){\rm d}x \]

当X,Y互相独立时

\[f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|x|f_{X}(x)f_{Y}(xz){\rm d}x \]

\[f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y(\frac{z}{x}){\rm d}x \]

当X,Y相互独立时

Z=max{X,Y}的概率分布函数

\[F_{max}(z)=F_X(z)F_Y(z) \]

Z=min{X,Y}

\[F_{min}(z)=1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z)) \]