重修最小割——无向图与网络

无向图最小割

定义是这样的：将无向图 \(G\) 分成两个联通分量 \({S,T}\)，并最小化 \(\sum_{u\in S,v\in T}d_{(u,v)}\)。
肯定不能用网络流求。

Stoer-Wagner 算法

首先我们知道对于两点 \(s,t\) 和图 \(G\) 的一个割 \(C\)，如果 \(s,t\) 不在同一个联通分量内，那么 \(C\) 就是一个 \(s-t\) 割。
那么最先想到的肯定是枚举 \(s,t\) 求这张图的一个 \(s-t\) 割。但是这样太慢了。我们考虑如果这个割不是 \(s-t\) 那么 \(s,t\) 就在同一个强联通分量内，那么我们可以把它们缩成一个点。
所以很容易想到如下的算法流程：

1. 随便找 \(s,t\)，求这张图的 \(s-t\) 割。
2. 合并 \(s,t\)，如果此时 \(|V|>1\)，那么回到步骤 \(1\)。
3. 输出所有割中的最小值。

然后我们考虑如果求这张图的 \(s,t\) 割。（显然不是最大流）
首先我们维护一个集合 \(A\)，初始为空。
定义权值函数 \(w(A,u)=\sum_{v\in A}d_{(u,v)}\)。
每次找到 \(w(A,u)\) 最大的一个数加入集合，并更新 \(w\)。
那么设最后被加入集合的点是 \(t\)，其它任意一个点是 \(s\)，那么 \(w(t)\) 是这张图的一个 \(s-t\) 割。

证明

定义节点 \(u\) 是活跃的，当且仅当在它加入集合时，设 \(v\) 是上一个加入集合的点，对于图 \(G''=\{V',E'/C\}\)，\(u\) 和 \(v\) 不在同一个联通块。
定义集合 \(A_u\) 为严格早于 \(u\) 加入集合的节点。令 \(E_u\) 为 \(E'\) 的诱导子图（点集为 \(A_u\cup\{v\}\)）的边集。
定义诱导割为 \(C_v\) 为 \(C\cap E_v,w(C_v)=\sum_{(i,j)\in C_v}d_{(i,j)}\)。
则有对于任何被激活的点 \(w(A_v,v)\le w(C_v)\)。
证明：
采用数学归纳法。对于第一个被激活的点 \(u_0\)，由定义可知 \(w(A_{v_0},v_0)=w(C_{v_0})\)。
对于其它两个被激活的节点 \(u,v\)（\(v\) 在 \(u\) 之前），有 \(w(A_u,u)=w(A_u-A_v,u)+w(A_v,u)\)。
已知 \(w(A_v,u)\le w(A_v,v),w(A_v,v)\le w(C_v)\)，可得 \(w(A_u,u)\le w(C_v)+w(A_u-A_v,u)\)。
由于 \(w(A_u-A_v,u)\) 对 \(w(C_u)\) 有贡献而对 \(w(C_v)\) 没有贡献，所以在边权为正的情况下可以导出 \(w(A_u,u)\le w(A_u)\)
由于 \(s\) 比 \(t\) 先加入集合且不在同一联通快，所以 \(t\) 是活跃的。可以得出 \(W(A_t)\le W(C_t)=W(C)\)。
时间复杂度可以近似看做 \(O(|V|^3)\) 的。
但是我好想没找到不能用网络流做的最小割。

核心代码

int Stoer_Wagner(){
    int mincut = 0x3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int s = 0 , t = 0;
        memset(vis2,0,sizeof(vis2));
        memset(w,0,sizeof(w));
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++){
            int now = 0;
            for(int k=1;k<=n;k++){
                if(!vis1[k]&&!vis2[k]&&w[k]>=w[now])now = k;
            }
            s = t , t = now , vis2[now] = 1;
            for(int k=1;k<=n;k++)w[k] += dis[k][now];
        }
        mincut = min(mincut,w[t]);
        vis1[t] = 1;
        for(int j=1;j<=n;j++)if(j!=s)dis[j][s] += dis[j][t] , dis[s][j] += dis[t][j];
    }
    return mincut;
}

网络中的最小割

最大流最小割定理

首先先引入一个引理：对于一个任意的流 \(f\) 和割 \({S,T}\)，都有 \(|f|\le||{S,T}||\)。直接推式子即可。

\[|f|=f(s)\\ =\sum_{u\in S}f(u)\\ =\sum_{u\in S}(\sum_{v\in V}f(u,v)-\sum_{v\in V}f(v,u))\\ =\sum_{u\in S}(\sum_{v\in S}f(u,v)+\sum_{v\in T}f(u,v)-\sum_{v\in S}f(v,u)-\sum_{v\in T}f(v,u))\\ =\sum_{u\in S}(\sum_{v\in T}f(u,v)-\sum_{v\in T}f(v,u))+\sum_{u\in S}\sum_{v\in S}f(u,v)-\sum_{u\in S}\sum_{v\in S}f(v,u)\\ =\sum_{u\in S}(\sum_{v\in T}f(u,v)-\sum_{v\in T}f(v,u))\\ \le\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v)\\ \le\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}c(u,v)\\ =||{S,T}|| \]

为了取等，显然第一个不等号需要 \(\{(u,v)|u\in T,v\in S\}\) 均为空流，而第二个不等号需要 \(\{(u,v)|u\in S,v\in T\}\) 均为满流。
然后我们来证明最大流最小割定理。
我们假设某一轮增广后不存在增广路，记所有能从 \(s\) 出发到达的点为集合 \(S\)，其余的点为集合 \(T\)。那么显然 \({S,T}\) 是原图的一个割且有 \(||{S,T}||=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}cf_{(u,v)}=0\)（不然还存在增广路）。根据容量非负，我们可以得出 \(\{cf_{(u,v)}|u\in S,v\in T\}\) 均为 \(0\)。
将所有边分两类讨论：

1. \((u,v)\in E\)：此时 \(c_{(u,v)}-f_{(u,v)}=cf_{(u,v)}=0\)，所以有 \(c_{(u,v)}=f_{(u,v)}\)，即满流。
2. \((v,u)\in E\)：此时 \(c_{(u,v)}-f_{(u,v)}=0-f_{(u,v)}=f_{(v,u)}=c_{(v,u)}\)，即空流。

满足我们刚才提到 \(|f|=||{S,T}||\) 的条件，所以最大流等于最小割。所以直接跑最大流即可。

例题

例题 P2762

根据最小割的性质，如果割掉一条边就必须割掉另一条边，那么我们通常在它们中间连接容量为 \(inf\) 的边。
在本题中，由于实验必须要用到仪器，所以我们可以将实验和对应仪器连一条这样的边。源点向实验连边，容量为实验的获利。仪器向汇点连边，容量为仪器的价格。割掉表示不选这个实验。
答案即为总共获利减去最小割，输出方案只用输出与源点，汇点直接连接的点即可。

例题 P1344

难点在于如何判断最小割边数。注意到我们将所有边的流量同时乘以一个数，再除回来是不影响答案的，所以我们可以根据这个性质来解题。注意到如果我们对每条边的流量都乘以一个很大的数，然后再加 \(1\)，那么最大流 \(mod\) 乘上的这个数就是最小割边数。
这是因为我们可以把最大流看做很多流量从源点出发，最后汇聚到汇点，对于两条提前汇聚的增广路，我们只需要割掉汇聚后的一条边即可，而按我们这样建边，它的最大流量正好增加 \(1\)。

例题 P4177

考虑割掉中间的边并不影响其它路径。这就对应了租借操作：并不会影响其它的工作。所以我们考虑把中间的边容量改为租借该机器的费用即可。