矩阵构造

① Fibonacci数列：F(0)=1, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)，求F[n]。

$[F(n-2),F(n-1)]\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1& 1 \end{bmatrix}=[F(n-1),F(n)]$

$[F(0),F(1)] \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1& 1 \end{bmatrix}^{n} =[F(n),F(n+1)]$

② 数列F[n]=F[n-1]+F[n-2]+1,F[1]=F[2]=1，求F[n]。

$[F(n-2),F(n-1),1] \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} =[F(n-1),F(n),1]$

$[F(1),F(2),1] \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}^{n-1} =[F(n),F(n+1),1]$

③ 数列F[n]=F[n-1]+F[n-2]+n+1,F[1]=F[2]=1，求F[n]。

$[F(n-2),F(n-1),n,1] \begin{bmatrix} 0 & 1& 0& 0\\ 1& 1 &0 &0 \\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1&1 \end{bmatrix} =[F(n-1),F(n),n+1,1]$

$[F(1),F(2),3,1] \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 &0 \\ 1 & 1 &0 &0 \\ 0& 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}^{n-1} =[F(n),F(n+1),n+2,1)]$

④ 数列F[n]=F[n-1]+F[n-2],F[1]=F[2]=1的前n项和，求S[n]=F[1]+F[2]+……+F[n]

$[F(n-2),F(n-1),S(n-2)] \begin{bmatrix} 0 & 1&0 \\ 1& 1&1 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} =[F(n-1),F(n),S(n-1)]$

$[F(1),F(2),1] \begin{bmatrix} 0 & 1&0 \\ 1& 1&1 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}^{n-1} =[F(n),F(n+a),S(n)]$

⑤ 数列F[n]=F[n-1]+F[n-2]+n+1,F[1]=F[2]=1的前n项和，求S[n]=F[1]+F[2]+……+F[n]

$[F(n-2),F(n-1),S(n-2),n,1] \begin{bmatrix} 0 & 1& 0& 0&0 \\ 1& 1& 1& 0&0\\ 0& 0 & 1& 0&0 \\ 0& 1& 0& 1&0 \\ 0& 1& 0& 1& 1 \end{bmatrix}$

$=[F(n-1),F(n),S(n-1),n+1,1]$

$[F(1),F(2),S(1),3,1] \begin{bmatrix} 0 & 1& 0& 0&0 \\ 1& 1& 1& 0&0\\ 0& 0 & 1& 0&0 \\ 0& 1& 0& 1&0 \\ 0& 1& 0& 1& 1 \end{bmatrix}^{n-1} =[F(n),F(n+1),S(n),n+2,1]$

以上五个简单的例题可以基本了解矩阵构造的思想和矩阵构造的方法。(参考)

更进一步。

hdu 3306 Another kind of Fibonacci

hdu 5950 Recursive sequence

posted @ 2019-08-08 20:48 Vivid-BinGo 阅读(493) 评论(0) 编辑收藏举报

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