网络流，再出发！

之前虽然刷了大概一百道网络流的题目，但是始终是把网络流当作黑盒算法来学。我大概知道了网络流能做什么。

但是对于网络流的代码细节我还是一窍不通。特此写一篇博文来整理，我对网络流的理解。

Ford-Fulkerson算法:

这个算法是一切网络流算法的基础，其最重要的贡献就是增广路定理：找不到增广路的时候，此时的累加流量就是最大流。

所以这个算法最主要的地方就是寻找增广路——每次DFS寻找从S到T路径上流量最小的边。

之后便是残余网络的概念。每次找到增广路之后都修改残余网络。直到不存在增广路的时候，算法结束。

缺陷：因为每次都是dfs所以，太不稳定，会被值域所影响。如下图，图片源自https://www.cnblogs.com/rvalue/p/10650849.html

有可能会在1-2之间进行466666666次过程。

Edmonds-Karp算法：

EK算法是上面算法的多项式优化版本。最主要的地方就是用BFS代替了DFS使得每次增广的都是最短路。

 图片源自上面链接。

局限：EK算法的劣势就在于, 每次遍历了一遍残量网络之后只能求出一条增广路来增广。

Dnic算法：

相较于EK算法，Dinic的复杂度更为优秀。Dinic最重要的思想就是引入了分层图，让流只能往下一层流。

每次跑DFS都能实现多路增广，增广完之后重新BFS建分层图。一旦建不了分层图那么算法结束。

其中我们说说Dinic代码细节。（BFS就是裸的分层，所以主要是DFS)

inline ll dfs(int u, ll flow) {
    if(u == T) return flow;
    ll del = flow;
    for(int i = cur[u]; ~i; i = edge[i].next){
        cur[u] = edge[i].next;//当前弧优化，下次直接从cur[u]开始增广，节省时间
        int v = edge[i].to;
        if (dis[v] == dis[u] + 1 && edge[i].w > 0){//深度+1且残量大于0
            ll ans = dfs(v, min(del, edge[i].w));//木桶原理
            edge[i].w -= ans;//正向弧减增广流量
            edge[i ^ 1].w += ans;//反向弧加增广流量
            del -= ans;//总流量减增广流量
            if(del == 0) break;//总流量为0则不继续增广
        }
    }
    return flow - del;//返回本次增广的流量
}

当前弧优化：每次DFS都会访问一些边，当前弧优化就是让你DFS的时候直接从不重复的地方开始。

del优化：为什么要设计一个del，通过flow-del来返回增广流量呢？我的理解是，del的意义是可行上界，意思就是有这么多流量流进来。那么我们很容易知道当上界为0的时候肯定就不能增广了，所以直接break。