【ZOJ-4123】Happy Equation

思路：

一看到这个题目我就开始打表了。通过打表可以发现，当a为奇数的时候答案为1。当a为偶数的时候，x一定也是偶数。

所以我们可以假设以下的两种情况：

a 为 奇数时，假如a^b 为奇数
此时的b有两种情况
1、b 为偶数时： b^a 明显是一个偶数（不符合）
2、b 为奇数时：不存在，除了本身。

a为偶数时：，假如a^b为偶数
此时b有两种情况
1、b 为奇数时：（不符合）

2、b 为偶数时：用t来表示a：a = 2 * t，那么a^x = (2t)^x = 2^x * t^x
当x >= p时，mod后为0
当x < p时，暴力求解。

从等式的右边开始看：b = 2^x * t， 那么b^a = 2^{ax} * t^a

当ax >= p时,假设mod后为0时：得到x >= ceil(p/a)

在第一种和第二种情况分析下，取最大范围的   [ ceil( p / a )  , 2^p ]

然后记得，如果这个范围中包含了，我们第一种情况中的暴力求解，要剔除

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qpow(ll a, ll b,ll mod,ll ans=1){
    ll Ans = ans;
    a %= mod;
    while (b){
        if (b & 1){
            Ans = Ans * a % mod;
        }
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return Ans;
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        ll a, p;
        scanf("%lld%lld",&a,&p);
        if (a & 1) 
        { 
            cout << 1 <<endl;
            continue;
        }
 
        ll P = (1ll << p);
        ll Ans = 0 ;
        for (int i = 0; i <= p; i++)
            if (qpow(a, i, P) == qpow(i, a, P))
                ++Ans;

        ll x = ((p-1) / a)+1;
  
        Ans = Ans + ((1ll << (p-x))) - (p >> x);
        cout << Ans << endl;
    }
    return 0;
}