数论基础
质数
质数这东西让我联想到了原子，一样不可拆分，所以我们说质数具有原子性。
我们设\(\pi(x)\)为不大于x的质数个数，可得\(\pi(x)=O(\frac x{\ln(x)})\)
唯一分解定理
任何一个\(N(N>1)\)能被质数分解，且只有一种分解方式，即
\(N=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times……\times p_m^{c_m}(N>1)\)
其中\(p_i\) 为素数，\(c_i\) 为正整数，
满足\(p_1<p_2<……<p_m\)
筛质数
可得：对于\(n\)，最多只有一个质因子大于\(\sqrt n\) 。
证明：若两个质因子\(a>\sqrt n，b>\sqrt n\)
\(~~~~~~~~~~\) 则\(a\times b>n\)（不成立），即原命题正确。
暴力试除法
根据上述结论我们对于一个数，只需要枚举1~\(\sqrt n\) 即可，
这里就不给代码了，时间复杂度O(\(n\sqrt n\))
埃式筛法
枚举到一个质数，我们只需要将它的倍数全部标记即可，没被标记的就是质数，这里给出核心代码。
int prime[100005],flag[100005],tot;
void find(int n)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
if(!flag[i])
{
flag[i]=1;
prime[++tot]=i;
for(int j=2;j<=n/i;j++)
flag[i*j]=1;
}
for(int i=1;i<=tot;i++)
printf("%d ",prime[i]);
}
欧拉筛法（线性筛法）
埃式筛法已经接近\(O(n)\)的复杂度了，但是优化的余地。
对于一个数，可能被多次标记，我们可以减少它们的次数，来达到优化的目的。
例如：30，它可以被分解成：
\(30=2\times15=3\times10=5\times6\)
根据上述的唯一分解定理，我们只需要用最小的质因子来分解。
例如：30分解成\(30=2\times15\)。
int prime[100005],flag[100005],tot;
void find(int n)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!flag[i]) prime[++tot]=i;
for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=n;j++)
{
flag[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
for(int i=1;i<=tot;i++)
printf("%d ",prime[i]);
}
整除
令\(a∣b\)表示\(a\)整除\(b\)，其中\(b\)是\(a\)的倍数，\(a\)是\(b\)的约数。
一些性质：
1、若\(d∣a\)，有\(d∣ka\)。
2、对称性：若\(a∣b，b∣a\)，有\(a = b\)。
3、传递性：若\(c∣b，b∣a\)，则\(c∣a\)。
4、若\(c∣a，d∣b\)，则\(cd∣ab\)。
5、若\(c∣a，c∣b\)，则\(c∣(ma+nb)\)
约数：
若\(N=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times……\times p_m^{c_m}(N>1)\)
其中\(p_i\)为素数，\(c_i\)为正整数，
满足\(p_1<p_2<……<p_m\) ，
则N 的正约数集合\(\{p_1^{b_1}，p_2^{b_2}，……，p_m^{b_m}\}\)，
其中\(0\le b_i\le c_i\)
由此可推出如下两条公式：
- N的约数个数：\(\prod^m_{i=1}c_i+1\)
- N的约数的和：\(\prod_{i=1}^m(\sum^{c_j}_{j=0}(p_i)^j)\)
最大公约数和最小公倍数
我们设\(gcd(a,b)\)为\(a、b\)的最大公约数。
\(~~~~~~~~~~lcm(a,b)\)为\(a、b\)的最下公倍数。
求\(lcm(a,b)\)和\(gcd(a,b)\;\;interesting\)的方法:
将a,b分解质因数，得：
\(a=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times……\times p_m^{a_m}\)
\(b=p_1^{b_1}\times p_2^{b_2}\times……\times p_m^{b_m}\)
那么\(gcd(a,b)=p_1^{min(a_1,b_1)}\times p_2^{min(a_2,b_2)}\times……\times p_m^{min(a_m,b_m)}\)
\(~~~~~~lcm(a,b)=p_1^{max(a_1,b_1)}\times p_2^{max(a_2,b_2)}\times……\times p_m^{max(a_m,b_m)}\)
欧几里得算法
\(gcd(a,b)=gcd(b,a\bmod b)\)
我们可以根据这个求出\(gcd(a,b)\)。
更相减损法
\(gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b)\)
\(gcd(2a,2b)=2gcd(a,b)\)
根据上述可得\(gcd(a,b)\)。
互质
\(gcd(a,b)=1：a，b\)互质。
\(gcd(a,b,c)=1：a，b，c\)互质。
\(gcd(a,b)=gcd(b,c)=gcd(a,c)=1\)：三者两两互质。
欧拉函数
欧拉函数\(\varphi(n)\)，表示\(1~n\)中与\(n\)互质的个数。
若\(N=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times……\times p_m^{c_m}\) ，
其中\(p_i\)为素数，\(c_i\) 为正整数，
满足\(p_1<p_2<……<p_m\) ，
\(\varphi(n)=N\times \frac{p_1-1}{p_1} \times \frac{p_2-1}{p_2}\times……\times\frac{p_m-1}{p_m}=N\times \prod(1-\frac1p)\)
一些性质
-
\(\varphi(1)=1\)
-
p是质数，\(\varphi(p)=p-1\)。
-
p是质数，n = \(p^k\) ， \(\varphi(n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}\)
-
\(gcd(a,b)=1，\varphi(ab)=\varphi(a)\times\varphi(b)\)（积性函数）。
-
对于质数p，有
\(~~~~~n\%p=0，\varphi(np)=\varphi(n)\times p\)
\(~~~~~n\%p\neq0，\varphi(np)=\varphi(n)\times(p-1)=\varphi(n)\times\varphi(p)\) -
对于n>1，\(1-n\)中与n互质的数的和为\(n\times\frac{\varphi(n)}2\)
-
\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)
欧拉筛求欧拉函数
根据上述性质：
每次枚举出一个质数i，\(phi_i=i-1\)。
根据第5个性质，即可推出。
int prime[100005],flag[100005],phi[100005],tot;
void find(int n)
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!flag[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=n;j++)
{
flag[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",phi[i]);
}
同余
用m除整数a,b余数相同，称a和b对模m同余，记作\(a\equiv b\pmod m\)
两个概念：
- 标准剩余系，每个同余系的任意两个整数模m同余。
- 既约剩余系，每个同余系的任意整数与m互质。
一些性质1:
- \(a\equiv b\pmod m\)，当且仅当\(m|(a-b)\)。
- \(a\equiv b\pmod m\)，当且仅当最在整数k，使得\(a=b+km\)
一些性质2：
有整数a,b,c，自然数m,n
- 自反性：\(a\equiv a\pmod m\)。
- 对称性：若\(a\equiv b\pmod m\)，则\(b\equiv a\pmod m\)。
- 传递性：\(a\equiv b\pmod m，b\equiv c\pmod m，a\equiv c\pmod m\)
- 同加性：\(a\equiv b\pmod m，a+c\equiv b+c\pmod m\)
- 同乘性：\(a\equiv b\pmod m，ac\equiv bc\pmod m\)
- 同幂性：\(a\equiv b\pmod m，a^n\equiv b^n\pmod m\)
- 若\(a \bmod p=x,a\bmod q=x,a\bmod (pq)=x\)。\(p，q\)互质。
欧拉定理
若\(gcd(a,n)=1\)，则\(a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n\)
费马小定理
若p为质数，a为整数，有\(a^p\equiv a\pmod p\)
证明：
- \(gcd(a,p)=1\to a^{\varphi(p)}\equiv1\pmod p\)
\(~~\)得\(a^{p-1}\equiv1\pmod p\to a^p\equiv a\pmod p\) - \(gcd(a,p)\neq1\)，即a是p的倍数。
\(a^p\%p=0，a%p=0\)，即\(a^p\equiv a\pmod p\)。
裴蜀定理（贝祖定理）
对于任意整数a,b，存在一组整数x,y，满足\(ax+by=gcd(a,b)\)
证明：
设\(d=gcd(a,b)\)，则\(a=da^{'},b=db^{'}\)
得\(ax+by=da^{'}x+db^{'}y=d(a^{'}x+b^{'}y)=d\)，
因为 \(a^{'},b^{'},x,y\)都是整数，
所以只有\(ax+by=gcd(a,b)\)或是\(gcd(a,b)\)得倍数时有解。
扩展欧几里得的通解
对于ax+by=gcd(a,b)，通过扩欧得出一组通解\(x_0,y_0\)
得通解：\(x=x_0+b÷gcd(a,b)\times t\)
\(~~~~~~~~~~~~~y=y_0-a÷gcd(a,b)\times t\)
到这里数论的知识就差不多了吧（尽管我还没写中国剩余定理呢）！
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