组合计数相关

1.二项式相关定理

1. \(\dbinom{a}{b}\dbinom{b}{c}=\dbinom{a}{c}\dbinom{a-c}{b-c}\)

2. \(\sum\limits_{i=0}^{m}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{i}=\dbinom{n+m}{m}(n \geq m)\)

3. \(\sum\limits_{i=m}^{n}\dbinom{i}{m}=\dbinom{n+1}{m+1}\)

4. \(F_{n+1}=\sum\limits_{i=0}^{n} \dbinom{n-i}{i}\)

5. \(g_n=\sum\limits_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i} f_{i} \xrightarrow{} f_n=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i}\dbinom{n}{i} g_{i}\)

6. \(g_n=\sum\limits_{i=n}^{m} \dbinom{i}{n} f_{i} \xrightarrow{} f_n=\sum\limits_{i=n}^{m} (-1)^{i-n}\dbinom{i}{n} g_{i}\)

7. 若 \(\forall i,\sum\limits_{j=i}^{n} a_{n,j} \times b_{j,i}=[n=i]\)，即对于 \(\forall i<j, b_{i,j}=a_{i,j}=0,A \times B=I\) 则有：\(g_n=\sum\limits_{i=0}^{n} a_{n,i} f_{i} \xrightarrow{} f_n=\sum\limits_{i=0}^{n} b_{n,i} g_{i}\)

8. \(\sum\limits_{i=0}^{k}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k}\)

2.错排

1. 容斥，\(D_n=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} n^{\underline{i}}\)

2. 递推，\(D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\)

3. \(D_n=nD_{n-1}+(-1)^n\)

3.容斥

普通容斥：

1. \(\begin{vmatrix}\bigcup\limits_{i \in U} S_i\end{vmatrix}=\sum\limits_{T \subseteq U, i \not=\varnothing} (-1)^{|T|-1} \begin{vmatrix}\bigcap\limits_{i \in T} S_i\end{vmatrix}\)

2. \(\begin{vmatrix}\bigcup\limits_{i \in U}S_i\end{vmatrix}=|U|-\begin{vmatrix}\bigcap\limits_{i \in U} \overline{S_i}\end{vmatrix}\)

3. \(f_S=\sum\limits_{T \subseteq S} g_T \xrightarrow{} g_S=\sum\limits_{T \subseteq S} (-1)^{|S|-|T|}f_T\)

\(\text{min-max}\) 容斥：

1. \(\max\limits_{i \in S}\{a_i \}=\sum\limits_{T \subseteq S,T \not= \varnothing}(-1)^{|T|-1} \min\limits_{i \in T}\{a_i \}\)

2. \(\min\limits_{i \in S}\{a_i \}=\sum\limits_{T \subseteq S,T \not= \varnothing}(-1)^{|T|-1} \max\limits_{i \in T}\{a_i \}\)

稍微扯一下证明，把第 \(k\) 的元素 \(x\) 映射到一个集合，\(f(x)=\{1,2,\dots,k\}\)，双yishi射显然。

不难得出：\(f(\min\{x,y\})=f(x) \cap f(y) ,f(\max\{x,y\})=f(x) \cup f(y)\)

那么根据普通容斥的 \(1\) 式可得证。

3. \(E(\max\limits_{i \in S}\{a_i \})=\sum\limits_{T \subseteq S,T \not= \varnothing}(-1)^{|T|-1} E(\min\limits_{i \in T}\{a_i \})\)

4. \(E(\min\limits_{i \in S}\{a_i \})=\sum\limits_{T \subseteq S,T \not= \varnothing}(-1)^{|T|-1} E(\max\limits_{i \in T}\{a_i \})\)

这可能是 \(\text{min-max}\) 容斥最有用的一部分。

5. \(E(\text{kmax}_{i \in S}\{a_i \})=\sum\limits_{T \subseteq S,T \not= \varnothing}(-1)^{|T|-k} C_{|T|-1}^{k-1} E(\min\limits_{i \in T}\{a_i \})\)

6. \(E(\text{kmin}_{i \in S}\{a_i \})=\sum\limits_{T \subseteq S,T \not= \varnothing}(-1)^{|T|-k} C_{|T|-1}^{k-1} E(\max\limits_{i \in T}\{a_i \})\)

这都是易证的。

7. \(\text{lcm}_{i \in S}\{a_i \}=\prod\limits_{T \subseteq S} \left(\gcd\limits_{i \in T}\{ a_i \} \right)^{(-1)^{|T|-1}}\)

这可以看成质因数分解后每个质因子做 \(\text{min-max}\) 容斥。

4.卡特兰数

1. \(H_n=[n>1]\sum\limits_{i=0}^{n-1} H_{i}H_{n-i-1}+[n \leq 1]\)

2. \(H_n=[n>1]\dfrac{\binom{2n}{n}}{n+1}+[n \leq 1]\)

3. \(H_n=[n>1]\left(\dbinom{2n}{n}-\dbinom{2n}{n-1}\right)+[n \leq 1]\)

4. \(H_n=\dfrac{H_{n-1}(4n-2)}{n+1}\)

5.斯特林数

第二类斯特林数：

1. \(S(n,k)=\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}\)

2. \(S(n,k)=\sum\limits_{i=0}^{k} \dfrac{(-1)^{k-i}i^n}{i!(k-i)!}\)

3. 设 \(F(x)=\sum\limits_{i>0} \dfrac{x^i}{i!}\)，第 \(k\) 行的生成函数为 \(\dfrac{F^k(x)}{k!}\)

第一类斯特林数：

1. \(s(n,k)=\begin{bmatrix}n \\ k \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1 \\ k-1 \end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1 \\ k \end{bmatrix}\)

2. \(x^{\overline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n} \begin{bmatrix}n \\ i \end{bmatrix} x^i\)

3. 设 \(F(x)=\sum\limits_{i>0} \dfrac{x^i}{i}\)，第 \(k\) 行的生成函数为 \(\dfrac{F^k(x)}{k!}\)

上下升幂和幂次相关：

1. \(x^{\overline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n} \begin{bmatrix}n \\ i \end{bmatrix} x^i\)

2. \(x^{\underline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n} \left( -1 \right)^{n-i} \begin{bmatrix}n \\ i \end{bmatrix} x^i\)

3. \(x^{n}=\sum\limits_{i=0}^{n} \begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} x^{\underline{i}}\)

4. \(x^{n}=\sum\limits_{i=0}^{n} \left( -1 \right)^{n-i} \begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} x^{\overline{i}}\)

斯特林反演：

根据各反演推导不难得出：

1. \(g_n=\sum\limits_{i=0}^{n} \begin{bmatrix}n \\ i \end{bmatrix} f_{i} \xrightarrow{} f_n=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} g_{i}\)

2. \(g_n=\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} f_{i} \xrightarrow{} f_n=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \begin{bmatrix}n \\ i \end{bmatrix} g_{i}\)

6.欧拉数

1. \(\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle=(k+1)\left\langle\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}\right\rangle+(n-k)\left\langle\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right\rangle\)

2. \(\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{i} \dbinom{n+1}{i}(k+1-i)^{n}\)

3. \(x^n=\sum\limits_{k} \left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle \dbinom{x+k}{n}\)