欧拉函数技巧与学习笔记

欧拉函数详解

• 蒟蒻的学习笔记

• 前置1:数论函数为定义域在自然数上的一类函数，它是非连续的函数(可以说是离散的函数)。我也不知道对不对

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1. 定义

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在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目。

特别的，我们规定 φ(1)=1。

• 性质

  • 欧拉函数是个积性函数
    也就是 φ(a×b)=φ(a)×φ(b) (a⊥b)$\phi (a\times b)=\phi (a)\times \phi (b)(a\mathrm{\perp }b)$ a⊥b$a\mathrm{\perp }b$表示a$a$与b$b$互质。

2. 挖个坑,后期逐步更新

3. 一些推论定理的简单证明

• φ(2×n)=φ(n)$\phi (2\times n)=\phi (n)$(n$n$为奇数)

  证明:根据φ(2)=1$\phi (2)=1$和积性函数定义。

• 如果a⊥b$a\mathrm{\perp }b$且b>a$b>a$ 那么 (b−a)⊥b$(b-a)\mathrm{\perp }b$

• 除了φ(1)$\phi (1)$与φ(2)$\phi (2)$以外，当n≥3$n\ge 3$时，φ(n)$\phi (n)$均为偶数
  证明:根据筛法，p−1$p-1$为偶数(p$p$为质数)，而筛出的欧拉函数都是有因子p−1$p-1$的，所以为偶数，还可以根据互质的数都是成对出现的来证明(下面有证明)。

• 若n>1$n>1$,则1$1$~n$n$中的与n$n$互质的整数的和为n×φ(n)2$\frac{n\times \phi (n)}{2}$

  证明:因为a$a$与n$n$互质(a<n$a<n$)，那么n−a$n-a$也与n$n$互质，所以互质的数是成对的，且两两之间和为n$n$，所以一共φ(n)2$\frac{\phi (n)}{2}$对,所以和为n×φ(n)2$\frac{n\times \phi (n)}{2}$。

• 若n$n$为正整数，那么∑d|ndφ(d)=n$\sum _d^{d|n}\phi (d)=n$