对于一些小的数学的方法的一些记录

这里只是一些做题时用到的数学小技巧

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• 求$x^m\equiv x(mod\ p)p\in\mathbb{P}$，且$x\in[0,p-1]$的满足条件的$x$的个数。

答案为$gcd(m-1,p-1)+1$个。

证明：

首先对于$0$所有情况都满足，所以先加个$1$。

然后对于$x\not=0$，而且$p$为质数，所以$x$肯定有逆元，所以我们将原式变形得到$x^{m-1}\equiv1(mod\ p)$

然后因为$p$为质数，那么可求一个它的原根，记为$g$，我们根据原根的定义可知，当$g^k\equiv w(mod\ p),k\in[1,p-1]$，只有$k=p-1$时$w=1$，对于其他任何的$k$，$w$都不一样，所以我们可以将原式中的$x$，转换为$g^y$，也就是$x\equiv g^y(mod\ p)$。

所以原式就变成了$(g^y)^{m-1}\equiv 1(mod\ p)$，我们用欧拉定理对指数进行处理。

欧拉定理：$x^y\equiv x^{y\ mod\ \varphi(p)}(mod\ p)$

所以将指数提出，原式变成$y(m-1)\equiv 0(mod\ (p-1))$，然后由于$m,p-1$不一定互质，所以我们令$k=gcd(p-1,m-1)$，原式可以变成$y\frac{m-1}{k}\equiv 0(mod\ \frac{p-1}{k})$，由于$gcd(\frac{m-1}{k},\frac{p-1}{k})=1$，所以这两个互质，那么同余为$0$只有$y$为$\frac{p-1}{k}$的倍数，那么由于$y\in[1,p-1]$那么$y$只有$k$种选法，根据原根的定义，那么同理$x$也有$k$种，所以算上$x=0$答案就为$gcd(p-1,m-1)+1$。

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• $x^m\equiv x(mod\ n)\Leftrightarrow x^m\equiv x(mod\ p_i)$，其中$n=\prod p_i$，且$p_i$为质数并都不相同。

证明：

这个相当于逆中国剩余定理，对于原式，我们可以写成$x^m-k_1n=x-k_2n$，那么将$n$展开可得$x^m-k_1(\prod p_i)=x-k_2(\prod p_i)$

然后我们对于每一个$p_j$，可以写出一个式子：
$x^m-k_1(\prod p_i)\equiv x-k_2(\prod p_i)(mod\ p_j)$
也就等价于$x^m\equiv x(mod\ p_j)$（因为减去的部分给模掉了）

加入有$c$个$p_i$，那么我们可以的到$c$个同余式，将其分别解出，然后中国剩余定理合并一下，就可以得到原式的答案，所以当这些式子分别满足时，才能满足原式。

而当$x\in[1,n]$时，令最终答案为$ans$，假设这$c$个同余式的每一个有$c_i$个$x$满足，由于在范围内最多只会有一个$x$满足$ans$，所以在每个同余式中选出一个，那么最后就会有$\prod c_i$个$x$满足原式，所以$ans$的个数就为$\prod c_i$。

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• 对于$n$个点的完全图的生成树有$n^{n-2}$个，有根生成树为$n^{n-1}$个。

证明：

用矩阵树或者prufer序列定理等证明就好啦我才不会告诉你我并不会证明╭(╯^╰)╮。

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• 最大公约数的更相减损术

内容：$gcd(a,b)=gcd(a,b-a)(a\leq b)$

可用于差分求区间$gcd$询问修改。

其它应用：高精$gcd$的简便写法

• $a$偶数，$b$奇数：$gcd(a,b)=gcd(\frac{a}{2},b)$
• $a$奇数，$b$偶数：$gcd(a,b)=gcd(a,\frac{b}{2})$
• $a$奇数，$b$奇数（$b\leq a$）：$gcd(a,b)=gcd(a-b,b)$
• $a$偶数，$b$偶数：$gcd(a,b)=2\times gcd(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$

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• 同余最短路

对于如下方程，求取$b\in[l,r]$中是的该方程有非负整数解的方案数。

$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$

其中$a_i$已知。

1. 首先我们选取$m=\min\limits_{i=1}^n\{a_i\}$，令其为模数，因为对于小于$m$的除了$x=0$，其它任何方案是组合不出来的，因为至少方程值都为$m$，那么$mod\ m$余数就是在$0\sim m-1$内了。
2. 我们枚举$0\thicksim m-1$，将每个数字$(a_i+w)mod\ m$与枚举的数$w$组合建边，边权为$a_i$，表示当前数$w$加上$a_i$可以变成$(a_i+w)mod\ m$。
3. 我们跑单源最短路，从$0$这个状态开始跑，求出每个状态点最小的能够满足它的值。
4. 对于每个状态点，也就是枚举$0\thicksim m-1$中的点，我们知道最小的满足值，那么就可以求出在$l\sim r$中有多少个在$mod\ m$的意义下等于它，统计计入答案即可。

墨墨的等式[国家集训队]-luogu
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2e6+10;
int n;
ll Bs,Bt,inf,minv,A[N],up;
struct ss{
	int to,last;ll len;
	ss(){}
	ss(int a,int b,ll c):to(a),last(b),len(c){}
}g[N<<1];
int head[N],cnt;
void add(int a,int b,ll c){
	if(a==b) return;
	up=max(up,(ll)max(a,b));
	g[++cnt]=ss(b,head[a],c);head[a]=cnt;
}

struct node{
	ll val;int id;
	node(){}
	node(ll a,int b):val(a),id(b){}
	bool operator <(const node &a)const{return val>a.val;}
};

ll dis[N];
priority_queue <node> Q;

void dij(){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	inf=dis[0];
	dis[0]=0;Q.push(node(0,0));
	while(!Q.empty()){
		node now=Q.top();Q.pop();
		int a=now.id,v;
		if(now.val>dis[a]) continue;
		for(int i=head[a];i;i=g[i].last){
			v=g[i].to;
			if(dis[v]>dis[a]+g[i].len){
				dis[v]=dis[a]+g[i].len;
				Q.push(node(dis[v],v));
			}
		}
	}
}
ll ans;
ll calc(ll v,ll low){
	return (Bt-v+minv)/minv-(low-1ll-v+minv)/minv;
}
int main(){
	scanf("%d%lld%lld",&n,&Bs,&Bt);
	minv=1e9;
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&A[i]),minv=min(minv,A[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<minv;j++){
			int p=(A[i]+j)%minv;
			add(j,p,A[i]);
		}
	}
	dij();
	for(int i=0;i<minv;i++){
		if(dis[i]==inf)continue;
		ll now=max(dis[i],Bs);
		if(now>Bt) continue;
		ans+=calc(i,now);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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同余方程最小解

对于求$ax\equiv m(mod\ p)$的最小解$x$，其中$a,m,p$已知。

首先我们令$d=gcd(a,p)$，然后判断$d|m$，如果$d\not|m$，那么该方程无解，否则，两端同时除以$d$，变成$\frac{a}{d}x\equiv \frac{m}{d}(mod\ \frac{p}{d})$，然后由于$\frac{a}{d}$与$\frac{p}{d}$互质，所以可以求$\frac{a}{d}$的逆元，把它除过去得到$x\equiv \frac{m}{a}(mod\ \frac{p}{d})$，此时右边的$\frac{m}{a}$为最小解$x$。