「CodePlus 2017 12 月赛」可做题1-题解

题目地址

这个题虽然简单，但是还是有一个非常不错的小技巧，所以还是记录一下。

---

• 题意简述

给你一个$n\times m$的矩阵，我们定义一个矩阵是巧妙的，满足以下条件：

任意从其中选择 $n$ 个不同行不同列的位置，其上的权值之和均相等。

例如：$\begin{vmatrix}1\ 2\ 3\\ 4\ 5\ 6\\ 7\ 8\ 9\end{vmatrix}$是巧妙的，因为满足：
$1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+6+7=3+5+7=3+4+8=15$

而矩阵$\begin{vmatrix}1\ 2\\ 2\ 1\end{vmatrix}$不是巧妙的，因为$1+1\not=2+2$

每次询问你给出矩阵中的一个子矩阵是否是巧妙的。

$1\leq n,m\leq 500,T\leq 10^5,val\leq10^9$

---

其实不难发现，对于一个矩阵中的$2\times 2$的一个子矩阵，例如$\begin{vmatrix}a\ b\\ c\ d\end{vmatrix}$，如果$a+d\not=c+d$，那么对于整个矩阵，必定会有一种选法为$a+d+\{else\},c+d+\{else\}$，那么这个肯定不相等，所以这个矩阵肯定不巧妙。

所以我们预处理以每个$(i,j)$为右下角的$2\times 2$的矩阵是否巧妙，是的话$v[i][j]=0$，否则$v[i][j]=1$，然后维护一个$v$的二维前缀和，每次询问一个矩阵，就是看这个矩阵里面是否有$v[i][j]\not=0$，所以就可以$O(nm+T)$的完成这个题了。

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=510;
char c;
void read(int &x){
	x=0;c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15),c=getchar();
}
int mp[N][N],isok[N][N],n,m,T,x,y,K,now;
int main(){
	read(n);read(m);read(T);
	for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)read(mp[i][j]);
	for(int i=2;i<=n;++i){
		for(int j=2;j<=m;++j){
			isok[i][j]=((mp[i][j]+mp[i-1][j-1])!=(mp[i-1][j]+mp[i][j-1]))
			+(isok[i-1][j]+isok[i][j-1]-isok[i-1][j-1]);
		}
	}
	while(T--){
		read(x);read(y);read(K);
		++x;++y;K-=2;
		if(~K){
			now=isok[x+K][y+K]-isok[x-1][y+K]-isok[x+K][y-1]+isok[x-1][y-1];
			if(!now)puts("Y");
			else puts("N");
		}else puts("Y");
	}
	return 0;
}