题解：luoguP15969 彩色装饰

打比赛的时候碰到这道题，觉得小K真的好闲啊真是一道情景真实有趣的好题啊！

题意解读

我们可以把题意转化为给一个颜色序列，对小 \(K\) 刷上去的每个颜色 k，把任意区间 \([l,r]\) 染成 \(k\)，求所有 \(\dfrac{n(n+1)}{2}\) 种染色后，美丽度之和。

注：美丽度 \(=\)

\[\left(\sum_{i=2}^n [a_i \neq a_{i-1}]\right) + 1 \]

思路

根据转化的题意，我们可以把问题拆到最简单：

设当前询问小 \(K\) 在丝带上刷的是颜色 \(k\)，总段数 $ T=\dfrac{n(n+1)}{2}\(，\)f(i,k)$ 表示有多少个区间 \([l,r]\)，染成 \(k\) 后，使得新的 \(a[i]\) 和 \(a[i-1]\) 颜色不同。
我们套上美丽度公式，则对于当前询问的每段的美丽度可以表示为 \(\sum_{i=2}^{n} f(i,k)\)，根据我们之前的定义，这里的美丽度的和就可以表示为：

\[\sum\limits_{i=2}^{n} f(i,k) + T \]

同时根据 \(f(i,k)\) 的定义，我们可以把它表示成:

当 \(2\le i\le n\) 时完全不覆盖 \(i\) 和 \(i - 1\) 的区间数量加上只覆盖 \(i\) 以左的区间数量加上只覆盖 \(i-1\) 以右的区间数量。

代码实现

注：变量与数组的用途：

\(le[i]\) 表示满足 \(i\) 端点以右的区间数量；

\(ri[i]\) 表示满足 \(i\) 端点以左的区间数量；

\(tot\) 表示所有相邻对 \(i\) 中，原本颜色不同的那些对它们各自“完全不覆盖区间数”的总和；

\(suml\) 表示所有“只染右边”的区间数量的总和；

\(sumr\) 表示所有“只染左边”的区间数量的总和。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long //懒人必备定义
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;//定义常量，方便数组定义
ll n, m, t, sumr, suml, ans, tot, a[N],le[N],ri[N];//不开 long long 见祖宗 
int main() {
    scanf("%lld %lld", &n, &m);//注意要用 %lld!!!
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld",&a[i]);
    t = (ll)1 * n * (n + 1) / 2;//总段数
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
         int x = a[i - 1], y = a[i];//记录左边的点和右边的点
     
   //区间会分成四种情况 1、完全不染 i 和 i-1 的；2、只染i以左的部分；3、只染 i-1 以右的区间数量；4、只染 i 和 i-1
         ll l = (ll)1 * (i - 2) * (i - 1) / 2;//原来的只在左边的区间数量
         ll r = (ll)1 * (n - i) * (n - i + 1) / 2;//原来的只在右边的区间数量
     //l+r 表示完全不碰 i 和 i-1 的区间数量，对应上文中的 1
         ll sl = i - 1;//当前只染 i 以左的区间数量，对应 2
         ll sr = n - i + 1;//当前只染 i-1 以右的区间数量，对应 3
         ll nowtot = (x != y) * (l + r);//如果原来颜色不同，这些区间的贡献为 1，反之为 0
         tot += nowtot;//加上现在的贡献
     	le[x] += sr;//加上 x 以右的区间数量
     	ri[y] += sl;//加上 y 以左的区间数量
   }
   for (int i = 1; i <= m; i++) suml += le[i];//加上“只染右边”的区间数量
   for (int i = 1; i <= m; i++) sumr += ri[i];//加上“只染左边” 的区间数量
   for (int i = 1; i <= m; i++) {
     ll nowsuml = suml - le[i];//只覆盖以左的区间数量
     ll nowsumr = sumr - ri[i];//只覆盖以右的区间数量
     ans = t + tot + nowsuml + nowsumr;//套公式
     printf("%lld\n", ans);//输出也要使用 %lld
 }
   return 0;
 }