dp 学习练习选讲

括号序列

1. 对于括号排列这种题目，一个合法的方案就是维护一个 ( 为 \(1\)，) 为 \(-1\) 的一个前缀和数组，然后合法的充要条件就变为了这个前缀和数组的最小值为 \(0\) 且末尾为 \(0\)。
2. 按外层配对括号 \(\texttt{(...)(...)...(...)}\) 拆开
3. 拆出第一对配对括号，剩下视作整体 \(\texttt{(...)...}\)。
4. 视作一个平面上的折线，进行容斥。

CF1781F

Bracket Insertion.

做法一：

对这个随时插入的序列用前缀和数组维护，我们发现我们不需要考虑末尾为 \(0\)，只需要保证每个数都不小于 \(0\) 即可。
对于两种插入可能，假设在插入位置的前面的前缀和为 \(x\)，则插入 () 就会有 \(x,x+1,x\)，同理有 )( 是 \(x,x-1,x\)。

于是我们就可以把前缀和数组转化成一个可重集合，初始为 \(\{0\}\)，每次操作就是等概率的在集合中抽出一个 \(x\)，\(p\) 的概率在集合中放入 \(\{x+1,x\}\)，\(1-p\) 的概率在集合中放入 \(\{x-1,x\}\)，求最终所有元素非负的概率。

这时我们可以把概率转化为求出一个方案数：在进行 \(k\) 轮操作后等概率抽出一个 \(x\) 的概率是 \(\frac{1}{2k+1}\)，而 \(p\) 也已知，每次相当于把 \(p\) 或 \(1-p\) 和 \(1\frac{1}{2k+1}\) 赋权给这个集合，我们要求的就变成了所有合法集合的权值积的和。

这个问题就可以考虑 dp。设 \(f(k,x)\) 表示初始集合数为 \(x\)，在进行 \(k\) 次操作后所有合法集合的权值的和。则我们要求的就是 \(dp_{n,0}\)。
思考转移，对于一个状态 \(f(n,x)\)，我们有 \(p\) 的概率和 \(1-p\) 的概率的两种转移：

\[\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-i-1} p\binom{n-1}{i}\binom{n-1-i}{j} · f(i,x) · f(j,x+1) · f(n-1-i-j,x) + \]

\[+ (1-p)\binom{n-1}{i}\binom{n-1-i}{j} · f(i,x) · f(j,x-1) · f(n-1-i-j,x) \]

即 \(\texttt{...(...)...}\) 三个位置继续放。

然后就成功有了 \(O(n^4)\) 的做法，但 \(n\le 500\)。
我们发现两种情况中重合了大部分的项，剩下的 \(p\times f(j,x+1)+(1-p)\times f(j,x-1)\)，就可以把 \(i\) 消掉，转移就只关于 \(j\)，剩下的预处理即可，时间复杂度 \(O(n^3)\)。

做法二：

我们发现我们可以根据方案 3，找到第一个匹配的括号，则剩下的就只有 2 个区域，于是我们就更快的得到了 \(O(n^3)\) 的转移方程：

\[f(n,x)=\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}(p\times f(k,x+1)\times f(n-1-k,x)+(1-p)\times f(k,x-1)\times f(n-1-k,x)) \]

吊打做法一

CF629C

Famil Door and Brackets.
我自己只能手切这种题了菜完了
本来是可以考虑有多少个排列包含 \(s\)，但是我们发现总共要填的数不超过 \(2000\)，而 \(|s|\) 又非常大，所以考虑对两边分别考虑，我们考虑 dp 求出长度为 \(i\)，前缀数组大小为 \(j\) 的字符串数量，然后对前面长度和前缀大小进行考虑即可。

当然的还有一些类括号序列的结构。

CF888F

Connecting Vertices.

首先断环成链，那么对于一个区间 \([i,j]\)，由于它是一个联通块，，那么区间有如下这两种形式：

其中 type 1 是 \((i,j)\) 没有连边的情况，type 2 是 \((i,j)\) 连了边的情况。但由于这是一棵树，所以这个 type 2 连通块必然有个断点，用枚举断点来转移。type1 按方式 3 转移。
具体的，有 \(dp_{i,j,0/1}\) 表示当前连通块为 \([i,j]\)，\(0/1\) 表示 \((i,j)\) 间是否有连边。

那么转移就比较简单了：

1. 对于 type1，\(dp_{i,j,0}=\sum_{k=i}^j dp_{i,k,1}\times (dp_{k,j,0}+dp_{k,j,1})\)
2. 对于 type2，\(dp_{i,j,1}=\sum_{k=i}^{j-1} (dp_{i,k,0}+dp_{i,k,1})\times (dp_{k+1,j,1}+dp_{k+1,j,1})\)