Cogs 97. [NOIP2007] 树网的核 Floyd
题目: http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=97
97. [NOIP2007] 树网的核
★☆ 输入文件:core.in
输出文件:core.out
简单对比
时间限制:1 s 内存限制:128 MB
【问题描述】
设T=(V,E,W)是一个无圈且连通的无向图(也称为无根树),每条边带有正整数的权,我们称T为树网(treenetwork),其中v,E分别表示结点与边的集合,W表示各边长度的集合,并设T有n个结点。
路径:树网中任何两结点a,b都存在唯一的一条简单路径,用d(a,b)表示以a,b为端点的路径的长度,它是该路径上各边长度之和。我们称d(a,b)为a,b两结点问的距离。
一点v到一条路径p的距离为该点与p上的最近的结点的距离:
d(v,P)=min{d(v,u),u为路径P上的结点)。
树网的直径:树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网T,直径不一定是唯一的,但可以证明:各直径的中点(不一定恰好是某个结点,可能在某条边的内部)是唯一的,我们称该点为树网的中心。
偏心距ECC(F):树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离,即 ECC(F)=max{d(v,F),V∈V}。
任务:对于给定的树网T=(V,E,W)和非负整数s,求一个路径F,它是某直径上的一段路径(该路径两端均为树网中的结点),其长度不超过s(可以等于s),使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V,E,W)的核(Core)。必要时,F可以退化为某个结点。一般来说,在上述定义下,核不一定只有一个,但最小偏心距是唯一的。
下面的图给出了树网的一个实例。图中,A-B与A-C是两条直径,长度均为20。点W是树网的中心,EF边的长度为5。如果指定s=11,则树网的核为路径DEFG(也可以取为路径DEF),偏心距为8。如果指定s=O(或s=1、s=2),则树网的核为结点F,偏心距为12。
【输入格式】
输入文件core.in包含n行:
第1行,两个正整数n和S,中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数,s为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为1,2,…,n。
从第2行到第n行,每行给出3个用空格隔开的正整数,依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如,“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。
所给的数据都是正确的,不必检验。
【输出格式】
输出文件 core.out只有一个非负整数,为指定意义下的最小偏心距。
【输入输出样例1】
输入:
5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3
输出:
5
【输入输出样例2】
输入:
8 6
1 3 2
2 3 2
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3
输出:
5
【限制】
40%的数据满足:5<=n<=15
70%的数据满足:5<=n<=80
100%的数据满足:5<=n<=300,0<=s<=1000。边长度为不超过1000的正整数。
题解:
Floyd
题意有点绕,大概意思就是给你一个无根树,然后让你从这个无根树的直径上找出一段,使得剩余的点到这一段上的最大距离最小(也就是偏心距最小)。
范围比较小。(资兹~~~)
考虑要找直径,我们可以用Floyd求两两之间的最短路,然后枚举两个点,两个点的距离最大的就是直径。至于找直径上的一段,我们知道若一条路径的两端点在直径上,那么这条路径一定在直径上。(然而我并不会证。。。)
知道这个,我们就可以枚举两个端点,判断 从起点到一个端点的距离+从这个端点到终点的距离 是否等于 从起点到终点的距离 。若等于,则在直径上。
至于偏心距,我们可以O(1)求解,因为最长的距离一定是 从直径的两个端点到这个线段上的端点 。
然后就解决了。。。(心里感觉有点慌。。。😭😢)
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define INF 1e9 4 int f[310][310]; 5 int read() 6 { 7 int s=0,fh=1;char ch=getchar(); 8 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')fh=-1;ch=getchar();} 9 while(ch>='0'&&ch<='9'){s=s*10+(ch-'0');ch=getchar();} 10 return s*fh; 11 } 12 int main() 13 { 14 freopen("core.in","r",stdin); 15 freopen("core.out","w",stdout); 16 int n,S,bb,ee,vv,i,j,k,MX,ans,begin,end,ECC; 17 n=read();S=read(); 18 for(i=1;i<=n;i++) 19 { 20 for(j=1;j<=n;j++)f[i][j]=INF; 21 f[i][i]=0; 22 } 23 for(i=1;i<n;i++) 24 { 25 bb=read();ee=read();vv=read(); 26 f[bb][ee]=f[ee][bb]=vv; 27 } 28 for(k=1;k<=n;k++) 29 { 30 for(i=1;i<=n;i++) 31 { 32 for(j=1;j<=n;j++) 33 { 34 if(i!=j&&i!=k&&j!=k&&f[i][k]+f[k][j]<f[i][j])f[i][j]=f[i][k]+f[k][j]; 35 } 36 } 37 } 38 MX=-INF; 39 for(i=1;i<=n;i++) 40 { 41 for(j=1;j<=n;j++) 42 { 43 if(MX<f[i][j]){MX=f[i][j];begin=i;end=j;} 44 } 45 } 46 ans=INF; 47 for(i=1;i<=n;i++) 48 { 49 if(f[begin][i]+f[i][end]==f[begin][end]) 50 { 51 for(j=1;j<=n;j++) 52 { 53 if(f[begin][j]+f[j][end]==f[begin][end]&&f[i][j]<=S) 54 { 55 ECC=max(min(f[begin][i],f[begin][j]),min(f[i][end],f[j][end])); 56 ans=min(ans,ECC); 57 } 58 } 59 } 60 } 61 printf("%d",ans); 62 fclose(stdin); 63 fclose(stdout); 64 return 0; 65 }