[NOI2016] 国王饮水记

题意：有 \(n\) 个城市，每个城市有个相同的蓄水池，第 \(i\) 个城市的水池中的水位高度为 \(a_i\)（\(a_i\) 互不相同） ，你可以执行 \(k\) 次操作，每次操作可以将任意多个城市的蓄水池相连（根据连通器原理，这些城市的水池的水位高度会变成他们的平均数），最后输出第一个城市的蓄水池的水位能达到的最大高度。 \(n\leq 8000, k\leq 1e9\)

首先，只有水位比 \(a_1\) 高的城市才能对答案产生贡献，所以只要记录比 \(a_1\) 大的城市。
其次，可以发现，两两相连得到的结果是最大的
证明： \(n\) 个数分别为 \(a_1\) 到 \(a_n\) （ \(\forall i>j\) 都有 \(a_i>a_j\) ）
两两相连的结果 \(ans=\frac{a_1}{2^{n-1}} +\frac{a_2}{2^{n-1}} +\frac{a_3}{2^{n-2}} +\cdots +\frac{a_n}{2^1}\)

而一次全联通则是 \(ans=\frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n}\)。

因为 \(a\) 是个单调递增的数列，所以很明显能发现上边的式子得到的 \(ans\) 更大。

所以如果次数能够支持一次一次合并下去就两两合并，否则考虑别的操作。
（其实也不用别的操作）将三个城市合并为1次而且不会使第二个城市拖后腿的话一定要使第二个城市的水位高于第一个和第三个的平均数。如果操作次数不够的话用本原则合并操作即可。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define pir pair<int,double>

const int maxn=1e4+1;

int h[maxn],s[maxn];

double f[16][maxn];

int g[16][maxn];

int ans[400];

double operator%(const pir &a,const pir &b)
{
    return (b.second-a.second)/(b.first-a.first);
}

int p;

void div(int x)
{
    long long q=0;
    
    for(int i=0;i<=p;i++)
	{
        q=q*1000000000+ans[i];

		ans[i]=q/x;

		q%=x;
    }
}

int read()
{
	int ret=0, f=1; char x=getchar();
	
	while(!isdigit(x)) { if(x=='-') f=-1; x=getchar(); }
	
	while(isdigit(x)) { ret=ret*10+x-'0'; x=getchar(); }
	
	return ret*f;
}

int main()
{
    int N=read(),m=read(),n=0; p=read()/9+1;
    
	h[++n]=read();
    
    for(int i=2;i<=N;i++)
	{
        int t=read(); if(h[1]<t) h[++n]=t;
    }
    
    sort(h+1,h+n+1);
    
    if(m>n) m=n;
    
    for(int i=1;i<=n;i++) { f[0][i]=h[1], s[i]=s[i-1]+h[i]; }
    
    int l=14; if(l>m) l=m;
    
    for(int i=1;i<=l;i++)
	{
        static pir q[8024];
        
        for(int j=2,l=1,r=0;j<=n;j++)
		{
            pir c=pir(j-2,s[j-1]-f[i-1][j-1]);
            
            while(l<r&&q[r-1]%q[r]>q[r]%c) { r--; }
            
            q[++r]=c;
            
            pir t=pir(j,s[j]);
            
            while(l<r&&q[l]%t<q[l+1]%t) { l++; }
            
            g[i][j]=q[l].first+1;
            
            f[i][j]=(q[l]%t);
        }
    }
    
    int tmp[16]; tmp[l]=n-(m-l);
    
    for(int i=l;i;i--) { tmp[i-1]=g[i][tmp[i]]; }
    
    ans[0]=h[1];
    
    for(int i=1;i<=l;i++) { ans[0]+=s[tmp[i]]-s[tmp[i-1]]; div(tmp[i]-tmp[i-1]+1); }
    
    for(int i=tmp[l]+1;i<=n;i++) { ans[0]+=h[i], div(2); }
    
    printf("%d.",ans[0]);
    
    for(int i=1;i<=p;i++) { printf("%09d",ans[i]); }
}