异或粽子 题解

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简述题意：给定一个序列 \(a\) ( \(a_i \leq 10^{10}\) )，长度为 \(n\) ( \(n\leq 10^5\) )， 给定正整数 \(k\) ，规定一段区间 $ [l,r] $ 的权值为 \(a_l\) 到 $ a_r $ 的异或和，问序列 \(a\) 的所有区间中，权值前 \(k\) 大的 \(k\) 个区间的权值和为多少

首先，异或具有可减性，我们规定 \(s_i= xor_{j=1}^{i} a_j\) ，则任意区间 $ [l,r] $ 的权值可以表示成 $ s_r\ xor\ s_{l-1}$ 。

其次，由于题中要求 $ i \leq j$ ，这个东西很麻烦，所以我们去掉这个限制，求出所有 $ s_i\ xor\ s_j\ (1\leq i,j \leq n)$ ，取其中前 \(2k\) 个数加和在除以 \(2\) 就是最终答案。

先规定 $ s_0=0 $ ，我们将 \(n+1\) 个 \(s\) 的取值插入 $ 01Trie $ 中，同时维护一个大根堆，堆中初始加入每个 \(s_i\) 与 \(s\) 中元素的异或的最大值。 由于 $ 01Trie $ 的特殊性，在已知 \(x\) 时，我们可以用 \(O(log\ x)\) 的时间求出 $01Trie $ 中与 \(x\) 异或值第 \(k\) 大的数是多少。

接下来每次在这个堆中取出一个最大值，累加到答案中。 当我们取出一个 \(s_i\) 与 \(s\) 中元素的异或的第 \(T\) 大值时，我们就将 \(s_i\) 与 \(s\) 中元素的异或的第 \(T+1\) 大值在插入到堆中。重复进行 \(2k\) 次，最后答案除以二即为题中所求答案。