为了月赛刷题 NEU1391
前些日子发生了些事情。。拖累了我刷题的脚步。。。不能这么容易就因为外物动摇 。。。今天起继续 每天都会发布代码
先贴题 这个需要学习
1391: Big Big Power
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题目描述
Calculate the power num a^(b^c) mod 1e9+7
输入
Multiple test cases,each case has three integers a,b and c . a,b,c is less than 1e9;
输出
Output the answer in each line
样例输入
2 3 2
样例输出
512
这道题的解法是快速幂 和费马小定理 正在研究 这是题解AC代码
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 typedef long long LL; 6 const LL mod = 1000000007; 7 LL a, b, c; 8 LL quick_pow(LL base, LL n, LL MOD) { 9 LL res = 1, u = base; 10 while (n) { 11 if (n&1) { 12 res = res * u % MOD; 13 } 14 u = u * u % MOD; 15 n >>= 1; 16 } 17 return res; 18 } 19 int main() 20 { 21 while (~scanf ("%lld%lld%lld", &a, &b, &c)) { 22 LL k = quick_pow(b, c, mod-1); 23 printf ("%lld\n", quick_pow(a, k, mod)); 24 } 25 return 0; 26 }
快速幂的代码 ：
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 4 typedef long long LL; 5 6 LL quick_pow(LL a,LL b,LL mod) 7 { 8 a=a%mod; 9 LL ans=1; 10 while(b) 11 { 12 if(b&1) ans=ans*a%mod; //证明可知 a mod b =a mod b mod b 13 a=a*a%mod; 14 b>>=1; //位运算速度快一些 15 } 16 return ans; 17 } 18 19 int main(void) 20 { 21 LL a,b,mod; 22 while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&mod)==3) 23 { 24 LL ans=quick_pow(a,b,mod); 25 printf("%lld\n",ans); 26 } 27 return 0; 28 }
这个题的AC代码如下 需要用到费马小定理 模幂周期性的知识
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 4 typedef long long LL; 5 6 LL quick_pow(LL a,LL b,LL mod) 7 { 8 a=a%mod; 9 LL ans=1; 10 while(b) 11 { 12 if(b&1) ans=ans*a%mod; //证明可知 a mod b =a mod b mod b 13 a=a*a%mod; 14 b>>=1; //位运算速度快一些 15 } 16 return ans; 17 } 18 19 int main(void) 20 { 21 LL a,b,c; 22 const LL mod=1000000007; 23 while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c)==3) 24 { 25 LL ans=quick_pow(b,c,mod-1); //费马小定理 模幂的周期性 a^b^c mod p= a^(b^c mod (p-1))mod p 证明在下面有 26 ans=quick_pow(a,ans,mod); 27 printf("%lld\n",ans); 28 } 29 return 0; 30 }
下面是手写的整理笔记 当时不会用公式编辑器请谅解：
参考资料在下面：费马小定理的证明
参考资料 ： 数论基本知识 剩余系
参考资料： 快速幂的知识 Word
快速幂取模算法
在网站上一直没有找到有关于快速幂算法的一个详细的描述和解释，这里，我给出快速幂算法的完整解释，用的是C语言，不同语言的读者只好换个位啦，毕竟读C的人较多~
所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。我们先从简单的例子入手：求= 几。
算法1.首先直接地来设计这个算法：
int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。
那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：
.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：
引理1：
上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。
证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，
于是不用思考的进行了改进：
算法2：
int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。
算法3：
int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余
}
ans = ans % c;
这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。
快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。
我们可以看到，如果我们在上式中把a = a mod c;改成a=(a*a) mod c;便可以把时间复杂度变成O(b/2),当然，这样子治标不治本，但是，如果我们每次都把a平方一次取余，便可以显著减少要运算的次数，即进行以下的迭代：
形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（logb）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。
算法4：快速幂算法
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 = = 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
将上述的代码结构化，也就是写成函数：
int PowerMod(int a, int b, int c)
{
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 = = 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
return ans;
}
本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。
以下内容仅供参考：
扩展：有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。
=？ 求解这个问题，我们也可以从进制转换来考虑：
将10进制的b转化成2进制的表达式：
那么，实际上，.
所以
注意此处的要么为0，要么为1，如果某一项，那么这一项就是1，这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况，为1对应了b是奇数的情况(不要搞反了哦，读者自己好好分析，可以联系10进制转2进制的方法)，我们先计算依次到中的项。计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余，为0项时ans不用再算，为1项时要乘以此项再取余。这个算法和上面的算法在本质上是一样的，读者可以自行分析，这里我说不多说了，希望本文有助于读者掌握快速幂算法的知识点，当然，要真正的掌握，不多练习是不行的。
