【题解】P1852 跳跳棋

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题意

跳跳棋是在一条数轴上进行的。棋子只能摆在整点上。每个点不能摆超过一个棋子。棋盘上有3颗棋子，分别在 \(a，b，c\) 这三个位置。我们要通过最少的跳动把他们的位置移动成 \(x，y，z\) 。（棋子是没有区别的）

跳动的规则很简单，任意选一颗棋子，对一颗中轴棋子跳动。跳动后两颗棋子距离不变。一次只允许跳过1颗棋子。

判断是否可以完成任务。如果可以，输出最少需要的跳动次数。

思路

神仙题……非常巧妙地建模。只能说：女少口阿

首先，对于中轴棋子为 \(b\) （中间那个）的情况，显然一直往中间跳可以一直减小范围，直到不能跳为止。这时候就得到了一个非常有用的“Basic” 状态，也就是“根状态”（这怎么跟某道字符串手玩题这么像啊）

然后把 \(b\) 往左右跳的情况看成左右节点状态，那么所有状态构成了一棵二叉树。对于棋盘上所有的 \(a,b,c\) ，状态构成了一个森林。

那么，如果 \((a,b,c)\to (x,y,z)\) ，首要条件是在同一棵树上。这样第一问就解决了。

考虑状态怎么去树根。利用 LCA 的思想，把两个状态到根的距离调整到一样，然后二分向上的步数，最后找到一个 \(L\) 使得两个状态向上 \(L\) 步相遇，那么总答案就是 高度差加上二分答案的两倍。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=1e9+7;
int sx,sy,sz,dep,mx;

void init( int &x,int &y,int &z )
{
	x+=inf; y+=inf; z+=inf;
	if ( y>z ) swap( y,z );
	if ( x>y ) swap( x,y );
	if ( y>z ) swap( y,z );
}

void dfs( int x,int y,int z,int step )
{
	int del1=y-x,del2=z-y;
	if ( step==mx || del1==del2 ) { sx=x,sy=y,sz=z; dep=step; return; }
	if ( del1>del2 )
	{
		swap( del1,del2 ); int del=del2/del1;
		if ( del2%del1==0 ) del--;
		if ( step+del<=mx ) dfs( x,y-del*del1,z-del*del1,step+del );
		else dfs( x,y-(mx-step)*del1,z-(mx-step)*del1,mx );
	}
	else
	{
		int del=del2/del1;  del-=(del2%del1==0);
		if ( step+del<=mx ) dfs( x+del*del1,y+del*del1,z,step+del );
		else dfs( x+(mx-step)*del1,y+(mx-step)*del1,z,mx );
	}
}

int main()
{
	int x,y,z,a,b,c;
	scanf( "%d%d%d",&a,&b,&c ); init( a,b,c );
	scanf( "%d%d%d",&x,&y,&z ); init( x,y,z );
	
	mx=inf;
	dfs( a,b,c,0 ); int sa=sx,sb=sy,sc=sz,sd=dep;
	dfs( x,y,z,0 );
	if ( sx!=sa || sy!=sb || sz!=sc ) { printf( "NO" ); return 0; }
	printf( "YES\n" );
//------------query1-------------------
	int ans=0;
	if ( sd>dep )
	{
		ans=sd-dep; mx=sd-dep;
		dfs( a,b,c,0 ); a=sx; b=sy; c=sz;
	}
	if ( sd<dep )
	{
		ans=dep-sd; mx=dep-sd;
		dfs( x,y,z,0 ); x=sx,y=sy,z=sz;
	}
	
	int l=0,r=inf;
	while ( l<=r )
	{
		mx=(l+r)>>1;
		dfs( a,b,c,0 ); sa=sx,sb=sy,sc=sz;
		dfs( x,y,z,0 );
		if ( sa!=sx || sb!=sy || sc!=sz ) l=mx+1;
		else r=mx-1;
	}

	printf( "%d",(l<<1)+ans );
}