FHQ-Treap 简要笔记
前言
原文写于 XJ 集训day2 2020.1.19.
现在想想那时候连模板都还没写，只是刚刚理解就在那里瞎yy……之前果然还是太幼稚了。
今天刷训练指南发现全是 Treap 和 Splay ，不想写 所以就来重写这个坑。
普通平衡树模板
基本思想：通过对平衡树进行分割（split）和合并（merge）完成维护平衡。
基本操作：插入，删除，查询排名，查询数值，求前驱，求后继
高级操作：可持久化，区间操作
显然我们是要维护一组数据。对于这组数据，每个点的值就是这棵平衡树的点权。根据基本性质，从点权角度看这棵树，满足二叉搜索树(BST)
然后 FHQ-Treap 还有一个附加值来维护平衡，这个值通常是随机出来的，且整棵树的附加值满足堆的性质。
有一说一，FHQ这样函数封装的是真的舒服……那我就直接讲函数好了。
1. 基本操作
struct FHQTreap
{
int l,r,val,rnd,siz;
}tr[N];
int cnt=0,rt=0,tx,ty,tz;
void update( int x ) //用左右子树的大小更新父节点子树大小
{
tr[x].siz=1+tr[tr[x].l].siz+tr[tr[x].r].siz;
}
int new_node( int val ) //新建一个节点（或者说 Treap ）
{
tr[++cnt].siz=1; tr[cnt].val=val; tr[cnt].rnd=rand(); return cnt;
}
1. Split
这个函数用途是按照某个方式分割一棵 Treap.
首先是按照权值的写法：
如果当前点的权值不大于 k ，根据二叉搜索树的性质，答案节点肯定在右子树里面。那么就将当前节点给分裂之后的“左树”\(x\) ，递归分割右子树。
如果当前节点权值大于 k，那么就同理赋值并递归分割左子树。
最后不要忘记 update。
void split( int now,int k,int &x,int &y )
{ //split a Treap by val
if ( !now ) { x=y=0; return; }
if ( tr[now].val<=k ) x=now,split( tr[now].r,k,tr[now].r,y );
//now比k小，左子树+根节点→x，递归分割右子树
else y=now,split( tr[now].l,k,x,tr[now].l );
update( now );
}
然后是按照排名的写法：
如果 k 不大于左子树大小，那么就是在左子树或者根节点，递归分割左子树；否则递归分割右子树，不过排名 k 要减去左子树大小和根节点。
void split( int now,int k,int &x,int &y )
{
if ( !now ) { x=y=0; return; }
if ( k<=tr[tr[now].l].siz ) y=now,split( tr[now].l,k,x,tr[now].l );
else x=now,split( tr[now].r,k-tr[tr[now].l].size-1,tr[now].r,y );
update( now );
}
2. Merge
顾名思义，就是合并两棵 Treap.
首先要保证 (x,y) 的顺序满足二叉搜索树的性质，所以merge的时候要注意顺序。
其次还要考虑附加值的堆性质。如果 \(x\) 的 rnd 比 \(y\) 大，那么说明在 “堆” 里面 \(x\) 应该是根节点，所以就递归，把 \(x\) 的右子树和 \(y\) 合并并更新 \(x\) .反之亦然。
int merge( int x,int y )
{
if ( !x || !y ) return x+y;
if ( tr[x].rnd<tr[y].rnd )
{ //make y -> x's right child
tr[x].r=merge( tr[x].r,y ); update( x ); return x;
}
else
{ //make x -> y's left child
tr[y].l=merge( x,tr[y].l ); update( y ); return y;
}
}
3. Kth
相当于一个查询操作，询问第 k 个权值。
如果当前的 k 不大于左子树大小，那么就递归左子树；
如果正好等于左子树+1（也就是比它小的数的个数+1，就是它本身），那么就算找到了，返回；
否则和排名 split 类似，减去左子树大小和根节点，递归右子树。
这里采用 while 替代递归。
int get_kth( int now,int k )
{
while ( 1 )
{
if ( k<=tr[tr[now].l].siz ) now=tr[now].l;
//k<=tr[l].size,the node must be in the left subtree
else if ( k==tr[tr[now].l].siz+1 ) return now;
//the kth node is exactly tree 'now'
else k-=tr[tr[now].l].siz+1,now=tr[now].r;
//k-=left subtree's size and 1 for the root,then search in the right subtree
}
}
4. 基本查询
插入
按照权值分割，然后合并左树和新节点，再和右树合并。
if ( opt==1 ) //insert
{
split( rt,x,tx,ty ); rt=merge( merge(tx,new_node(x)),ty );
}
删除
先按照权值 \(x\) 分割，然后再把小于 \(x\) 的部分分割出来，对于剩下的就是等于 \(x\) 的部分。这部分由于是删除一个节点（但是实际会有多个重复的点），所以直接忽略根节点合并左右子树即可。最后再和之前分出来的两部分合并，注意顺序。
（其实还有一种方法是同时在一个节点里面记录出现次数，删除减一即可）
（重复节点对 FHQ 是没有大问题的……但是对于伸展树嘛……初始节点一定要放啊……）
if ( opt==2 ) //delete
{
split( rt,x,tx,tz ); split( tx,x-1,tx,ty );
ty=merge( tr[ty].l,tr[ty].r ); rt=merge( merge(tx,ty),tz );
}
根据值求排名
分割出左子树，然后左子树 siz +1 即可（原因自己读题）
if ( opt==3 ) //get rank by val
{
split( rt,x-1,tx,ty ); printf( "%d\n",tr[tx].siz+1 ); rt=merge( tx,ty );
}
Kth
if ( opt==4 ) printf( "%d\n",tr[get_kth(rt,x)].val ); //get val by rank
求前驱
if ( opt==5 ) //get pre node
{
split( rt,x-1,tx,ty );
printf( "%d\n",tr[get_kth(tx,tr[tx].siz)].val );
rt=merge( tx,ty );
}
求后继
if ( opt==6 ) //get suf node
{
split( rt,x,tx,ty );
printf( "%d\n",tr[get_kth(ty,1)].val );
rt=merge( tx,ty );
}
文艺平衡树
题目要求是翻转区间，意思就是要支持区间操作（
代码可以直接在普通平衡树上面修改得到，这里只放一些不同的部分。
0. 【Important】Reverse
针对这道题的区间翻转操作，就是对 tag 进行修改。
主要这里涉及到了如何把一个区间抠出来进行操作。
思想很简单，就是把右端点 r 右边的分开，左端点之前的分开，然后对中间这段进行操作即可。
void reverse( int l,int r )
{
int t1,t2,t3,t4;
split( rt,r,t1,t2 ); split( t1,l-1,t3,t4 );
tr[t4].mark^=1; rt=merge( merge( t3,t4 ),t2 );
}
1. 基本操作
就是给原来的结构体加了翻转的 tag。
struct FHQTreap
{
int l,r,val,rnd,siz,mark;
}tr[N];
2. Pushdown
类似线段树的标记下传。
void pushdown( int x )
{
if ( x && tr[x].mark )
{
tr[x].mark=0; swap( tr[x].l,tr[x].r );
if ( tr[x].l ) tr[tr[x].l].mark^=1;
if ( tr[x].r ) tr[tr[x].r].mark^=1;
}
}
3. Merge
合并操作中增加pushdown.
int merge( int x,int y )
{
if ( !x || !y ) return x+y;
pushdown( x ); pushdown( y );
if ( tr[x].rnd<tr[y].rnd )
{ //make y -> x's right child
tr[x].r=merge( tr[x].r,y ); update( x ); return x;
}
else
{ //make x -> y's left child
tr[y].l=merge( x,tr[y].l ); update( y ); return y;
}
}
4. Split
由于是要翻转区间，所以一定要按照子树大小分割了。
记得下传。
void split( int now,int k,int &x,int &y )
{
if ( !now ) { x=y=0; return; }
pushdown( now );
if ( k<=tr[tr[now].l].siz ) y=now,split( tr[now].l,k,x,tr[now].l );
else x=now,split( tr[now].r,k-tr[tr[now].l].siz-1,tr[now].r,y );
update( now );
}
5. Build
新增的建树函数。总体结构类似线段树建树。
int build( int l,int r )
{
if ( l>r ) return 0;
int mid=(l+r)>>1,val=mid;
int now=new_node( val );
tr[now].l=build( l,mid-1 ); tr[now].r=build( mid+1,r );
update( now );
return now;
}
6. 输出
这个是针对这道题的……就是中序遍历输出。
void dfs( int x )
{
if ( !x ) return;
pushdown( x );
dfs( tr[x].l );
printf( "%d ",tr[x].val );
dfs( tr[x].r );
}
