[NOIP2018]货币系统

做题时间：2022.7.20

\(【题目描述】\)

给定 \(T(T\leq 20)\) 组大小为 \(N(N\leq 100)\) 的自然数集合 \(A\) （其中的数大小不超过 \(25000\) ），求出最小的 \(M\) ，使得存在大小为 \(M\) 的自然数集合 \(B\) 满足任意一个自然数要么都能分别被 \(A\) 与 \(B\) 中的数凑出，要么都不能被凑出。

\(【输入格式】\)

第一行一个整数 \(T\)
每组数据第一行一个整数 \(N\)
每组数据第二行 \(N\) 个整数表示 \(A\)

\(【输出格式】\)

共 \(T\) 行，每行一个整数表示这组数据的答案

\(【考点】\)

背包DP

\(【做法】\)

对于这种多个数字拼凑起来，并且爆搜会挂的题目一般使用背包DP做。

首先肯定想到要从小到大便利 \(A\) ，因为大的数没办法凑出小的数，按这个顺序遍历利于统计答案。

可以想到用 \(f_{i,j}\) 表示用 \(A\) 中前 \(i\) 个数能否凑出 \(j\) ，直接跑一遍DP，转移方程：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j-a_i}|f_{i-1,j-2\times a_i}\cdots \]

这个方程其实很像完全背包的转移，回忆完全背包的优化可以发现， 其实不需要枚举 \(a_i\) 的数量，转移方程就变成：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j-a_i} \]

然后加上滚动数组即可。求解答案的时候只要在从小到大便利 \(a_i\) 的过程中判断当前的 \(a_i\) 是否已经被表示即可。

代码：

#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e3+50,M=2e4+5e3+50;
bool f[M];
int n,t,maxn,a[N];
inline int Max(int a,int b){return a>b?a:b;}
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
			maxn=Max(maxn,a[i]);
		}
		sort(a+1,a+1+n);
		int cnt=n;
		f[0]=true;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(f[a[i]]){
				cnt--;
				continue;
			}
			for(int j=a[i];j<=maxn;j++) f[j]|=f[j-a[i]];
		}
		memset(f,false,sizeof f);
		printf("%d\n",cnt);
	}
	return 0;
}