洛谷P4316 绿豆蛙的归宿

做题日期：2020.11.24

\(【题目描述】\)

有一张\(N(N\leq 10^5)\)个点的DAG，图上每一条边都有一个边权\(w\)，从1号点开始，一直走到\(n\)号点，没到达一个点，如果该节点有\(k\)条出边，可以选择任意一条边离开该点，并且走向每条边的概率为\(\frac{1}{k}\)，问到达​点\(n\)的期望路径长度是多少？

\(【输入样例】\)

4 4 
1 2 1 
1 3 2 
2 3 3 
3 4 4

\(【输出样例】\)

7.00

\(【考点】\)

期望DP

\(【做法】\)

期望DP一般都是由前往后递推，这道题目可以反向建边之后进行DP。设\(f[i]\)表示从第\(i\)个点走到第\(n\)个点的期望路径长度，则根据期望公式\(E(x)=\sum x_i \cdot p_i\)，有如下转移方程：

\(f[u]= \frac{1}{degree[u]} \cdot \sum\limits_{v \in son_u} f[v]+w[u][v]\)

其中\(degree[u]\)表示点\(u\)的入度，\(son_u\)表示所有可以到达\(u\)的点。

\(【代码】\)

#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<queue>

using namespace std;
const int N=2e5+50;
struct egde{
    int to,val;
    long long nxt;
}a[N];
int head[N],cnt;
int In[N],dgree[N];
double f[N];
int n,m;
queue<int> que;

void add(int u,int v,long long w)
{
    cnt++;
    a[cnt].to=v;
    a[cnt].val=w;
    a[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
void Topo_sort()//拓扑排序+DP
{
    que.push(n);
    while(!que.empty()){
        int u=que.front();
        que.pop();
        for(int i=head[u];i;i=a[i].nxt){
            int v=a[i].to;
            In[v]--;
            if(!In[v]) que.push(v);
            f[v]+=(double)(f[u]+a[i].val)/(double)dgree[v];
        }
    }
}
signed main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int u,v;
    long long w;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
        add(v,u,w);
        In[u]++,dgree[u]++;//记录入度
    }
    Topo_sort();
    printf("%.2lf\n",f[1]);
    return 0;
}