主席树

可持久化线段树，就是每次新建一个版本的线段树，但是因为是单点修改所以每次只有\(\log n\)的变化量。
主席树，指的是可持久化权值线段树。

我们先学习一下最基础的可持久化线段树，就是查询一个历史版本的值，单点修改并新建版本。
最核心的修改操作是这样的：

点击查看代码

void modify(int pre, int &id, int pos, int val)
{
	id = ++cnt, tr[id] = tr[pre];
	if(tr[id].l == tr[id].r){tr[id].val = val; return;}
	int mid = (tr[id].l + tr[id].r) >> 1;
	if(pos <= mid)modify(lpre, lid, pos, val);
	else modify(rpre, rid, pos, val);
}

手膜一下就知道它是先把节点的信息搞成前面的，再在往下修改的过程中更改这个信息。所以id传的是引用。

1.单点修改，历史版本区间最大值

板子，修改没区别，查询就按照普通线段树写法查。

2.区间第k小值查询

我们考虑对权值线段树从1到n进行可持久化。
然后需要一个作差的思想，就是我query的时候同时去搜L-1和R两棵线段树，然后把对应的左儿子的值相减就知道左边有几个值了，然后正常查即可。

注意每次开的实际上是log + 1个点，所以空间要开够。

3.二维数点（强制在线）

其实是比较容易的。考虑左下角是(x1,y1)，右上角是(x2,y2)的一个矩形。
我们如果把x1到x2当作版本，就对这些版本做前缀和，然后查询的时候就是x2和x1-1的版本的y1到y2的区间和相减就行。
时间复杂度应该是单log的。

4.区间数颜色（强制在线）

这个不是很容易，考虑转化。
我们对每个点i找到前面最右边的与它颜色相同的点\(last_i\)，然后就能转化成二维数点问题直接做了。

5.花神的嘲讽计划（主席树维护哈希）

这个题哈希是用来判子串的，主席树统计哈希值的个数，注意一下写的时候不要爆ull就好。