一个早期DP专题

区间DP

A.Sue的小球

这个题和关路灯基本上是一样的，考虑正难则反，求解最小损耗，然后就是关路灯。考虑贡献提前计算，把每个球下落的贡献拆开来算，状态就是\(\large f_{i,j,0/1}\)表示现在在[i,j]的左/右端点，此时的最小消耗。转移是容易的。

B.CF1922F

这个题有点厉害啊。
首先我们考虑一个结论：最优解的操作区间一定不会有相交且不包含的情况出现。证明的话，就是把连续段缩成一个点，然后如果出现了这种情况，等于是我白白多加了一个点，一定不优。
这个DP状态的设定比较高级，你分析转移过程，就是在把整个区间都改成k之前，要保证整个区间里没有k出现。
所以设\(\large f_{i,j,k,0/1}\)为把[i,j]全改成不是/是k的所需最小次数。
转移方程不是很难想：
1.对于不是的一类，就是不对大区间操作（枚举断点），或者对大区间操作（选一个不是k的数l，\(\large f_{i,j,l,0} + 1\)）。
2.对于是的一类，不对大区间操作的同理，否则就是\(\large f_{i,j,k,0} + 1\)。
3.发现不是的一类的第二种转移会有环，但是一定是只有第一种转移得出dp值最小的才会转移别人，所以先跑一遍第一种即可。

考虑分析复杂度，就是\(\large \sum\limits_{i=1}^{t}n_i^4\)，发现\(a^4 + b^4 \le (a+b)^4\)，所以这个式子在n是5个100时取到最大值，最大是5e8，三秒肯定能过。

树形DP

D.ABC233G

换根DP使用的情况一般是要把对根节点做的事对所有节点都做一遍。
所以考虑二分图最大匹配=n-二分图最大独立集，这是一个经典结论，用最小点覆盖证明即可。
我们求解最大独立集即可，然后换根就是经典up and down，设一个子树外的即可。
我们最后发现，如果自己被删掉，最大独立集大小不变，那么不满足这个性质的点的个数就是答案。