CF1408E Avoid Rainbow Cycles 题解

解题思路

第一眼看过去感觉不是很可做……

但是我们可以发现，如果有两个点在不同的集合中出现过，那么一定会存在彩虹环，那么两个点最多出现一次。同时我们考虑将题意转化一下，变成求最大能选取的点，使得不出现彩虹环。根据刚刚的性质，我们可以考虑每个点向它所在的集合连一条边权为 \(a_i+b_j\) 的边，那么我们最终要选取一些边使得这些边的边权和最大且不存在两条边在多个集合中出现，即联通块中无环。那么这个时候就很自然的想到最大生成树了，我们每次选择最大的能选的边并 \(sum\gets sum+w_i\)，那么我们最后的答案即为 \(\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{\displaystyle \sum_{j=1}^m s_j} w_i-\right)sum\)。

AC 代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#define int long long
#define N 200005
int n,m,k;
int a[N],b[N];
struct Edge{
    int u,v,w;
}edge[N<<1];
inline bool cmp(Edge x,Edge y){
    return x.w>y.w;       
}int fa[N<<1],ce;
inline int find(int x){
    return x==fa[x]?x:
    fa[x]=find(fa[x]);
}
signed main(){int ans=0;
    scanf("%lld%lld",&m,&n);
    for(register int i=1;i<=m;++i)
        scanf("%lld",&a[i]);
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%lld",&b[i]);
    for(register int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%lld",&k);int x;
        for(register int j=1;j<=k;++j){
            scanf("%lld",&x);
            edge[++ce]={x,i+n,a[i]+b[x]};
            ans+=edge[ce].w;
        }
    }for(register int i=0;i<=n+m;++i)
        fa[i]=i;
    std::sort(edge+1,edge+ce+1,cmp);
    for(register int i=1;i<=ce;++i){
        int fx=find(edge[i].u);
        int fy=find(edge[i].v);
        if(fx==fy) continue;
        ans-=edge[i].w;fa[fx]=fy;
    }printf("%lld",ans);
}