证明一个有趣的数论恒等式

素材来源：
https://www.zhihu.com/question/26547156/answer/52356574

公式：

\[\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^cd(ijk)=\sum_{gcd(i,j)=gcd(j,k)=gcd(k,i)=1}\left\lfloor \frac{a}{i} \right\rfloor \left\lfloor \frac{b}{j} \right\rfloor \left\lfloor \frac{c}{k} \right\rfloor \]

其中 \(d(i)\) 表示约数个数

证明：
首先考虑左侧，由于 \(d(ijk) = \sum_{m \mid ijk} 1\)（即 \(m\) 取遍 \(ijk\) 的所有正约数），代入并求和换序：

\[\begin{aligned} LHS &= \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^c \sum_{m \mid ijk} 1 \\ &= \sum_{m=1}^\infty \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^c [m \mid ijk] \end{aligned} \]

其中 \([P]\) 是指示函数，当 \(P\) 真时为 1，否则为 0。由于 \(i \leq a\), \(j \leq b\), \(k \leq c\)，当 \(m > abc\) 时 \([m \mid ijk] = 0\)。

对固定的 \(m\)，引入分解处理条件 \(m \mid ijk\) 。设 \(r_1, r_2, r_3\) 满足 \(r_1 r_2 r_3 = m\) 且 \(\gcd(r_i, r_j) = 1\)（\(i \neq j\)），即 \(r_1, r_2, r_3\) 两两互质。则：

\[[m \mid ijk] = \sum_{\substack{r_1, r_2, r_3 \\ r_1 r_2 r_3 = m \\ \gcd(r_i,r_j)=1 \, (i \neq j)}} [r_1 \mid i] [r_2 \mid j] [r_3 \mid k] \]

代入：

\[LHS = \sum_{m=1}^\infty \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^c \sum_{\substack{r_1, r_2, r_3 \\ r_1 r_2 r_3 = m \\ \gcd(r_i,r_j)=1 \, (i \neq j)}} [r_1 \mid i] [r_2 \mid j] [r_3 \mid k] \]

求和换序，先对 \(r_1, r_2, r_3\) 求和（满足两两互质）：

\[LHS = \sum_{\substack{r_1, r_2, r_3 \\ \gcd(r_i,r_j)=1 \, (i \neq j)}} \sum_{i=1}^a [r_1 \mid i] \sum_{j=1}^b [r_2 \mid j] \sum_{k=1}^c [r_3 \mid k] \]

由于 \(i, j, k\) 独立，每个求和独立运算：

\[\sum_{i=1}^a [r_1 \mid i] = \left\lfloor \frac{a}{r_1} \right\rfloor, \quad \sum_{j=1}^b [r_2 \mid j] = \left\lfloor \frac{b}{r_2} \right\rfloor, \quad \sum_{k=1}^c [r_3 \mid k] = \left\lfloor \frac{c}{r_3} \right\rfloor \]

因此：

\[\begin{aligned} LHS &= \sum_{\substack{r_1, r_2, r_3 \\ \gcd(r_1,r_2)=\gcd(r_2,r_3)=\gcd(r_3,r_1)=1}} \left\lfloor \frac{a}{r_1} \right\rfloor \left\lfloor \frac{b}{r_2} \right\rfloor \left\lfloor \frac{c}{r_3} \right\rfloor \\ &= \sum_{gcd(i,j)=gcd(j,k)=gcd(k,i)=1} \left\lfloor \frac{a}{i} \right\rfloor \left\lfloor \frac{b}{j} \right\rfloor \left\lfloor \frac{c}{k} \right\rfloor = RHS \end{aligned} \]

Q.E.D.