ABC468E Sum of Average

赛场差点没切出来，好菜啊

题目大意

给定一个长度为 \(n\) 的数组 \(a=(a_1,a_2,...,a_n)\)，定义函数 \(f(l,r)\) 为数组 \(a\) 中下标为 \([l,r]\) 的算数平均值。

现让你求出 \(\sum_{1\le l\le r\le n}f(l,r)\)，即在 \(a\) 中所有非空子区间的平均值之和，结果对
\(998244353\) 取模。

分析

一道纯数学题。

考虑化简题目中的式子，对 \(\sum_{1\le l\le r\le n}f(l,r)\) 进行展开，得到 \(\sum_{1\le l\le r\le n} \sum_{i=l}^{r} \frac{a_i}{r-l+1}\)，因为 \(a_i\) 是连续的一段，为了降低时间复杂度，可以使用前缀和进行优化。设 \(pre_i=\sum_{j=1}^{i}a_j\)，那么 \(\sum_{i=l}^{r} {a_i}\) 可以化简为 \(pre_r-pre_{l-1}\)。所以原式就就等于 \(\sum_{l=1}^{n}\sum_{r=l}^{n} \frac{pre_r-pre_{l-1}}{r-l+1}\)，这样我们就完成了第一步。

注意到原式的分母是 \(r-l+1\)，此分母就相当于区间长度，我们令 \(d=r-l+1\)，这样就可以把分母提出来，方便计算。因为我们必须得保证右端点 \(r\le n\)，带入得 \(d+l-1\le n\)，即 \(l\le n-d+1\)。所以此时我们的式子就变成了 \(\sum_{d=1}^{n}\frac{1}{d}\sum_{l=1}^{n-d+1}(pre_{l+d-1}-pre_{l-1})\)。为了方便处理 \(pre\) 数组不同的下标，我们将原式拆开，拆成：

\(\sum_{d=1}^{n}\frac{1}{d}(\sum_{l=1}^{n-d+1}pre_{l+d-1}-\sum_{l=1}^{n-d+1}pre_{l-1})\)

现在进行换元，使 \(pre\) 数组得下标相等。对于被减数的式子，我们令 \(k=l+d-1\)，将 \(k\) 的取值带入不等式 \(1\le l \le n-d+1\) 中，可以解得 \(k\) 的取值范围，这个取值范围就是求和函数中的下界和上界。于是被减数的式子被我们化简成了 \(\sum_{k=d}^{n}pre_k\)。同理，我们将减数的式子化简成 \(\sum_{k=0}^{n-d}pre_k\)。将两式带入到原式中：

\(\sum_{d=1}^{n}\frac{1}{d}(\sum_{k=d}^{n}pre_k-\sum_{k=0}^{n-d}pre_k)\)

注意到原式中的 \(pre\) 数组的取值均是连续的一段，仍然用前缀和进行优化，设 \(pre'_i=\sum_{j=0}^{i}pre_i\)。则原式变为：

\(\sum_{d=1}^{n}\frac{1}{d}(pre'_n-pre'_{d-1}-pre'_{n-d})\)

这样，我们只需预处理出 \(pre\) 数组，便可以在线性复杂度内求解。但是注意，本题结果要对 \(998244353\) 取模，而公式中有除法，所以需要将除法转化为乘 \(d\) 的逆元。为了简便，可以使用快速幂来计算逆元，总体时间复杂度为 \(O(n\) \(log\) \(mod)\)，足以通过本题。

实现

赛时代码，较丑勿喷

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e5+10,MOD=998244353;
int n,a[N],pre[N],pre2[N];
int qpow(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1)res=res*a%MOD;
		a=a*a%MOD;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		pre[i]=pre[i-1]+a[i];pre[i]%=MOD;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		pre2[i]=pre2[i-1]+pre[i];pre2[i]%=MOD;
	}
	int sum=0;
	for(int d=1;d<=n;d++){//长度 
		int val=(pre2[n]-pre2[d-1]-pre2[n-d])%MOD;
		while(val<0)val+=MOD;//必须是正数
		sum=(sum+val*qpow(d,MOD-2))%MOD;
	}
	cout<<sum;
}