KTT

解决问题：

给定 \(n\) 个一次函数 \(y=k_ix_i+b_i\) 要支持一下操作：

1. \(i\in [l,r],\;x_i\to x_i+p\)。
2. \(i\in [l,r],\;b_i\to b_i+w\)。
3. 查询 \(\max_{i=l}^{r} kx_i+b_i\)。

其中满足 \(p \ge 0\)（或 \(p\le 0\)）。

---

发现如果只有 2，3 操作就是简单题了。

加上 1 操作的话就需要 KTT （Kinetic tournament tree） 来维护，KTT 就是线段树的一个变种。

1 操作不好维护的原因是因为每个位置增加的值不同，最大值位置可能发生改变，线段树每个节点在正常维护 \(l,r,mx\) 的基础上多维护一个 \(itr,b\) （交替阈值，区间最大值所取的函数所对斜率），表示这整个区间至少加多少后区间最大值位置会有变化，以这题为例 \(itr=\min\{ls_{itr},rs_{itr},\frac{ls_{mx}-rs_{mx}}{ls_{b}-rs_{b}}\}\) 线段树修改时，对于区间 \([l,r]\) 加 \(d\) 则让其 \(itr\to itr-d\)。若此时 \(itr\leq 0\) 则暴力将该子树所有标记下放直至遇到 \(itr>0\) 的节点。

时间复杂度在 EI 的文章 中有详细的讲解。

KTT 解决的问题需满足函数 \(x\) 增值均为正或均为负。

---

考虑几个问题：

旅行规划（弱化）

给定一个长为 \(n\) 的序列，支持两种操作：

1. 区间加等差数列（ \(a,a+p,a+2p\) ）。
2. 查询区间最大值。

其中保证等差数列中任意元素均大于 0。

让序列第 \(i\) 项 \(k_i=i\) 即可转化为第一个问题，每次操作拆分成：

\(i\in [l,r],\; x_i+p\)

\(i\in [l,r],\; b_i-(l-1)p\)

查询与第一个问题相同。

EI 的第六分块

给定一个长为 \(n\) 的序列，支持两种操作：

1. 区间加。
2. 查询区间最大子段和。

根据小白逛公园的思想，区间 \([l,r]\) 维护 \(lx,rx,mx\) 分别表示必须包含左或右端点的最大子段和，当前整个区间的最大子段和。

每个节点维护三个函数 \(y=kx+b\) 表示区间三种最大子段和，\(k\) 为三种最大子段和所对子段的长度。\(b\) 为三种最大子段和当前的和。\([l,r]\) 加 \(d\)，相当于 \(x\to x+d\)。\(itr\) 要考虑三种最大子段和每一种的更新。

有一个需要注意，在取到最大子段和的前提下要使长度尽量长 （斜率越大增长越快）。

P6792 区间加

跟 EI 的第六分块基本一致，吉司机线段树 + KTT，把 EI 的第六分块中的 \(y=kx+b\) 的 \(k\) 改为最大子段和所对子段中包含区间最小值的个数即可。