极小 Mex 区间

对于求解 mex 相关问题，可以使用极小 mex 区间的 trick 解决。

极小 mex 区间定义为所有 \([l,r]\) 满足 \(\nexists l\le l'\le r'\le r\)，\([l',r']\ne [l,r]\)，\(mex([l',r'])=mex([l,r])\)。即不存在子区间与其 mex 相同。

极小 mex 区间解决问题最重要的性质是极小 mex 区间的个数是 \(O(n)\) 级别的。

考虑一极小 mex 区间 \([l,r]\)，钦定 \(a_l>a_r\)，因为该区间为极小 mex 区间，所以无论删去 \(l,r\) 对区间 mex 均有影响，由此不难得出 \(mex([l,r])=a_l+1\) 且 \(a_r\) 仅在区间 \([l,r]\) 内唯一出现。

考虑若有极小 mex 区间 \([l,r']\)，\(r'>r\)，\(a_l>a_{r'}\) 同为极小 mex 区间。同理可得 \(mex([l,r'])=a_l+1\)，而所有 \(i\le a_l\) 均在 \([l,r]\) 内出现过，则 \(a_{r'}\) 不满足唯一出现。

则此情况下对于每个 \(l\) 仅存在一个 \(r\) 与其对应，
\(a_l<a_{r'}\) 同理，故准确上界为 \(2n\)。

通过极小 mex 区间还可求出极大 mex 区间。每个最小 mex 区间 \([l,r]\)，\(mex([l,r])=x\) 找到 \(l\) 左边第一个 \(x\) 的位置 \(posl\)，\(r\) 右边第一个 \(x\) 的位置 \(posr\)，则此极小 mex 区间对应的极大 mex 区间为 \((posl,posr)\)，所有 \(i\in(posl,l]\)，\(j\in[r,posr)\)，\(mex([i,j])=x\)。

且所有极小 mex 区间与其极大 mex 区间所得出的区间（即 \([i,j]\) 包含所有区间）。

如何求极小 mex 区间。首先所有 \(mex([l,r])=0/1\) 的极小 mex 区间是容易得到的，不难得出这两种情况下区间长度为 1。

然后从小到大每个通过 \(mex=i\) 的极小 mex 区间找到左右第一个 \(a_{posl}=i,a_{posr}=i\)，拓展出 \([posl,r],[l,posr]\) 两个区间，主席树求出区间 mex，将这两个区间塞入对应的极小 mex 区间集合。每轮开始前先将集合内不满足极小条件的区间去除。

正确性

证明正确性，即证明对于任意极小 mex 区间 \([l,r]\)，\(mex([l,r])=x\)，均有一子区间能拓展出 \([l,r]\)。

假定极小 mex 区间 \([l',r']\) 拓展出 \([l,r]\)，仍旧钦定 \(a_l>a_r\)，则 \(mex([l',r'])=a_l\)，因为 \(a_r\) 在 \([l,r]\) 唯一出现且 \(mex((l,r])=a_l\)，所以一定存在 \([l',r]\)，\(l'>l\)，\(mex([l',r])=a_l\)。

复杂度

因为每轮开始时将不满足极小的区间去除了，则拓展到 \(mex=i\) 的极小 mex 区间时所有 \(mex<i\) 的区间总数是 \(O(n)\) 量级的（准确为 \(2n\)），每个区间最多向 \(mex=i\) 拓展两个区间，故准确上界为 \(4n\)。

P9970 [THUPC 2024 初赛] 套娃

给定序列，求序列所有长度为 \(k(1\le k\le n)\) 的子区间 mex 组成集合的 mex。

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考虑求出极小 mex 区间，对于每个极小区间 \([l,r]\)，再求出其对应极大 mex 区间 \([L,R]\)，则对于 \(k\in[r-l+1,R-l+1]\) 的子区间 mex 集合中均会出现 \(mex([l,r])\)。按 mex 递减枚举极小 mex 区间集合，则每次相当于将没有出现 \(mex([l,r])\) 的 \(k\) 的答案推平为 \(mex([l,r])\)，odt 即可。

P10169 [DTCPC 2024] mex,min,max

给定序列 \(\{a_n\}\) 和 \(k\)，求有多少子区间 \([l,r]\) 满足 \(\operatorname{mex}\{a_l,a_{l+1},\dots,a_{r-1},a_r\}+\min\{a_l,a_{l+1},\dots,a_{r-1},a_r\}+k\geq \max\{a_l,a_{l+1},\dots,a_{r-1},a_r\}\)。

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套路的 \(mex,min\) 必有一者为 0，考虑将满足条件的区间分为 \(mex+k\ge max\)，\(min+k\ge max\)，\(k\ge max\)，则最终答案为 \(cnt_1+cnt_2-cnt_3\)，\(cnt\) 分别为满足某一个条件的区间个数。

其中 \(\min+k\ge max\)，\(k\ge max\) 固定左端点，满足条件的右端点具有单调性，直接二分计算。

对于 \(mex+k\ge max\) 求出极小极大 mex 区间 \([l,r],[L,R]\) 则 \(i\in[L,l],j\in[r,R]\) 的区间 mex 不变满足条件的左右端点也具有单调性，分别二分即可。

P13693 [CEOI 2025] Equal Mex

给定序列，每次询问区间 \([l,r]\) 求有多少个 \(k\) 满足可以将区间划分为 \(k\) 段，每段 mex 相同。

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很好的性质题。

首先 \(k\) 具有单调性，因为假设 \(k+1\) 满足条件，则将相邻两段合并，因为 mex 相同，则合并后 mex 仍然相同。

进而因为 mex 不变，最终并为一段就是整个区间，所有划分的每一段 mex 均等于整个区间的 mex。

求出极小 mex 区间，则每一种划分方案每一段可以对应一个 \(mex=mex([l,r])\) 极小 mex 区间。即假设划分方案 \([l_1,r_1],[l_2,r_2],\cdots\) 则每一段均包含一个极小 mex 区间。

所以问题转化为区间 \([l,r]\) 中的极小 mex 区间最多选出多少个不交区间，因为 mex 区间不包含，所以就是经典套路，贪心的选右端点最小的即可。倍增优化一下从任意段选 \(2^i\) 段后的最小右端点即可 \(O(q\log n)\) 解决。