P13495 【MX-X14-T5】魔法卷轴

感觉还是挺牛的。

首先显然题目的限制相当于每行每列的 xor 均为 1。

对于给定的点先将其对所在行列 xor 的贡献计入该行列 \(wx_x,wy_y\)。

现在就相当于每行每列中未填的格子权值异或和等于 \(\lnot wx_x,\lnot wy_y\)。先把所有 \(xw,wy\) 取反。

当时想到了行列建边，但不会计数 /dk。

行列建边后就相当于给每条边赋权，要求每个点相连的边权异或和等于点权。显然连通块间独立，于是对每个连通块考虑。

大小为 \(siz\)，边数是 \(M\) 的连通块中赋权方案数是 \(2^{M-siz+1}\)。

存在 \(wx,wy\) 异或和不为 0 的连通块必定无解，因为边权为 0/1，均无法改变连通块异或和。

考虑在连通块中找一棵生成树这样从叶子节点往上可以确定每个点的权值，再加入非树边，而每条非树边都可以任意赋值（对于形成的环上所有边权值取反，因为都是偶环，所以这样调整总能成立）。

所以最后答案就是 \(\prod 2^{M-siz+1}=\prod 2^{nm-k-(n+m)+c}\)，其中 \(c\) 是连通块个数。